因此,若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)原函数的全体可表达成
?F(x)?cF?(x)?f(x),c是任意常数?.
(2) (2) (原函数存在定理)连续函数的原函数必定存在.
(3) (3) 若函数f(x)在区间I上存在原函数,则其任意两个原函数之间只相差
一个常数. (4) (4) 称f(x)原函数的一般表达式为f(x)的不定积分,记为?(5) (5) 微分运算与积分运算是一对互逆的运算，即有 （i）
?f(x)dx??f(x)??dx?df(x)dx.
，或
d??f(x)dx??f(x)dx??；
（i i）?2 基本积分公式
F?(x)dx?F?x??C，或
?dF?x??F?x??C.
?kdx?kx?C.
?xdx?1?1??1x??1?C.(???1)
?xdx?lnx?C.?exdx?e?C.x?adx?xax
lna?C.(a?0,a?1)?sinxdx??cosx?C ?cosxdx?sinx?C. ?secxdx?tanx?C cscxdx??cotx?C ?
secxtanxdx?secx?C ?
?cscxcotxdx??cscx?C
22?1?1?x1?x122dx?arcsinx?C
dx?arctanx?C?shxdx?chx?C ?chxdx?shx?C ?a12?x2dx?1aarctanxa?C,(a?0)
?C,(a?0)?x?12?a122dx?12alnx?ax?axa
a?x2dx?arcsin?C,(a?0)?tanxdx??lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C
?cscxdx?lncscx?cotx?C ?secxdx?lnsecx?tanx?C ??1x?a1x?a222dx?lnx?dx?lnx?x?ax?a222?C
22?C三、微积分基本定理
xa
(1) (微积分第一基本定理)若f(x)在?a,b?上连续,则变上限积分函数
F(x)??f(t)dt在?a,b?上可微,且F?(x)?f(x).
F(x)?由定理可知,若f(x)在?a,b?上连续,则原函数.
b?xaf(t)dt是f(x)在?a,b?上的一个
(2) (微积分第二基本定理) 若f(x)在?a,b?上连续,F(x)是f(x)的任意一个原函数,则?af(x)dx?F(a)?F(b)?F(x)ab―――――牛顿-莱布尼兹公式
学习指导
一、关于微积分第一基本定理
若f(x)在?a,b?上连续,可微函数?(x),?(x)的值域均含于?a,b?,则有
ddx?(x)(x)??f(t)dt?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)若题中含变限积分,则一般离不开变上限定积分求导.
要能熟练利用变上限定积分是被积函数的一个原函数,请看下例.
例:证明:连续奇函数的一切原函数均为偶函数;而连续偶函数的原函数中,只有一个是奇函数.
证:(1).设f(x)是连续奇函数,F(x)是f(x)的任一原函数,则由
f(x)
?x0f(t)dt亦是
一个原函数,知
F(x)??x0f(t)dt?c,其中c是某一常数.而
(令u??t)F(?x)?????x0f(t)dt?c??x0xf(?u)d(?u)?cf(u)du?c?F(x),0于是
F(x)
是偶函数.
(2). 设g(x)是连续偶函数, G(x)是g(x)的任一原函数,则
G(x)??x0g(t)dt?c.
而
G(?x)????x0g(t)dt?c(令u??t)?x0g(?u)d(?u)?cx???g(u)du?c0,
G(x)?由于G(x)?G(?x)?2c?0,得到c?0,因此数的原函数.
二、关于微积分第二基本定理
要熟练掌握并运用牛顿-莱布尼兹公式
?x0g(t)dt是g(x)的唯一奇函
?baf(x)dx?F(a)?F(b)?F(x)ab第6章 积分法 内容提要
一、不定积分的性质
(1) 两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和,即
(2) 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来,即 二、不定积分的基本积分法 (一) 基本积分法
(1) 第一类换元积分法(凑微分法) 若?,则可微函数,而c是任意常数. (2) 第二换元积分法
f(x)dx?F(x)?c
?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ???kf?x?dx?k?f?x?dx?k?0?
?f??(x)????(x)dx?F??(x)??c,其中?(x)是x的任一
?设f(x),x?g(t)及g(t)均连续,x?g(t)的反函数t?g?1(x)存在且连续,若
?f?g(t)?g?(t)dt?F(t)?c,则?(3) 分部积分法 (二) 可积函数类 (1) 有理函数的积分
?1?f(x)dx?F??g(x)??c,其中c是任意常数.
?f?x?dg?x??f?x?g?x???g?x?df?x?
R(x)?P(x)Q(x)两个多项式的商所表示的函数称为有理函数,通常可记为,其中P(x),Q(x)都是x的多项式.有理函数的积分可归结为多项式与有理真分式的积分.据代数
R(x)?P(x)Q(x)Q(x)?学的知识,有理真分式总可分解为部分分式.设有理真分式
??2,其中
2可在实数,
范围内因式分解成其中
p2R(x)?a0(x?a)?(x?b)(x?px?q)?(x?rx?s)2??4q,?,r?4s,?,?,?,?,?,?都是正整数,则有下列分解式:
R(x)?A1x?a?A2(x?a)22???A?(x?a)????B1x?b??B2(x?b)22???B?(x?b)??I1x?J1x?px?qM2x?N222?I2x?J2(x?px?q)???22???I?x?J?(x?px?q)2???M1x?N1x?rx?s?
M?x?N?(x?rx?s)?(x?rx?s)2,
R(x)dx其中
Ai,Bi,Ii,Ji,Mi,Ni均为待定常数.
实质上可归结为下列四种类型的积分:
有理真分式经分解为部分分式后,其积分?①
?1x?a2dx, ②
dx?(x?a)?(x21ndx
n ③, ④
其中每一个都可积出.因此有结论:有理函数的原函数必定可由初等函数表出,或有理函数的积分必定可被积出.
(2) 三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指
t作为积分变量的有理函数的积分,有
R(sinx,cosx)t?tanx2或x?sarctant?xMx?N?px?qMx?N?px?q)dx.经万能代换x22t1?t2可化为以
21?t2?R(sinx,cosx)dx令t?tan?R(,1?t1?t22)?dt.
(3) 简单无理函数的积分
经适当的变量代换,使之化为有理函数的积分.
nR(x,ax?b)dx,(a?0)?
令t?nax?b,可把原积分化为
?R(
t?bannn?1,t)tdt.a
?R(x,nax?bcx?dax?b)dx,(ad?bc?0)cx?d,可把原积分化为令
二、定积分的基本积分法 (1) 公式法
求得被积函数的一个原函数,利用牛顿-莱布尼兹公式直接计算之. (2) 定积分的第一类换元积分法(凑微分法)
t?n?R(ctb?dtnn?a,t)(ad?bc)nt(ctnn?12?a)dt.?baf?g(x)?g??x?dx??baf?g(x)?dg?x?令u?g(x)?g(b)g(a)f(u)du.
(3) 定积分的第二类换元积分法
f(x)?a,b?x?g(t) 设在上连续,若代换满足
??,??(或??,??)上有连续导数g?(t); g(t)在闭区间
??,??)时,必有a?g(t)?b; t???,??当(或
g(?)?a,g(?)?b,则
?baf(x)dx???f?g(t)?g??t?dt.
b?(4) 定积分的分部积分法
设f(x),g(x)在?a,b?上有连续导数,则
?baf(x)dg(x)?f(x)g(x)a??g(x)df(x)ab三、定积分的数值计算法 将区间?a,b?分为n等分(1) 矩形法 左矩形公式
?xi?1,xi?,记yib?ann?f(xi)(i?1,2,?,n)?baf(x)dx?b(y0?y1?y2???yn?1);(y1?y2?y3???yn);
右矩形公式(2) 梯形法
?af(x)dx?b?a??babaf(x)dx?(3) 抛物线法(辛普森法)
f(x)dx?b?a3nb?ay0?yn(?y1?y2?y3???yn?1);n2
[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)];这里的n必须为偶数
四、定积分中的常用命题和公式
(1) (1) 对称区间上连续奇函数的积分为零,即若f(x)是[?l,l]上的连续奇函数,则
l
??lf(x)dx?0.
(2) (2) 对称区间上连续偶函数的积分为半个区间上积分的两倍, 即若f(x)是[?l,l]上的
连续偶函数,则 .
f(x)(3) (3) 若是周期为T的连续函数,则对于任意实数a,均成立
?l0?lf(x)dx?2?f(x)dxTl?a?Taf(x)dx??T0f(x)dx??2T?2f(x)dx. n为偶数n为奇数??0(4) 0(其中n为正整数)
?2sinxdx?n?2?n?1???n???n?1?ncosxdx? ?nn?3n?2n?3n?2??????31???42242??153
学习指导
一、不定积分 1.基本积分法
(1).第一类换元积分法(凑微分法)
? 其特点是”凑好了换”,把被积函数分出一部分写成g(x),而余下部分恰好是
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