高等数学(上)复习指导及要点解答(4)

内容提要

本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。

（一）函数性态的研究

1．函数的单调性

y?f?x??a,b??a,b?可导，?a,b?上有f??x??0设函数在闭区间上连续，开区间若在f??x??0f?x??a,b?（或），则在上严格单调增加（或严格单减）。

f?x?f??x??0f??x??0注意：保证严格单调增加的条件可以放宽为，且使f??x??0f??x??0f??x??0的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件可放宽为，且

f??x??0使的点不形成区间。

2. 函数的局部极值

?x?N(x0)xN(x0)（1）极值点的定义：若函数y?f(x)在点0的某邻域有定义，且对一切

成立

xf(x)?f(x0)（或

f(x)?f(x0)x），则称f(x)在0取得[严格]极大值（或极小值），

称0为f(x)的[严格]极大点（或极小点）。若将“<”（或“>”）用“?”（或“?”）代替，

则称为非严格意义下的极值。 （2）极值点的必要条件：函数（3）判别极值得充分条件 一阶充分条件：设结论成立：

f?x?f(x)的极值点必定是它的驻点或不可微点。

x0在

x0处连续，并且在

的某?去心邻域

N?x0?^内可导，则有以下

x??x0??,x0?f??x??0x??x0,x0???f??x??0f?x?x0（i）若当时，；当时，，则在处取得极大值。

x??x0??,x0?f??x??0x??x0,x0???f??x??0f?x?（ii）若当时，；当时，，则在

x0处取得极小值。

x0（iii）若在

处不取得极值。

f?x?f???x0?f?(x0)?0x二阶充分条件：设在点0的某邻域内可导，，存在，则有以下结

f???x0??0f???x0??0xx论成立：若，则0是函数的极大值点。若，则0是函数的极小值点。f???x0??0x若，则对0无明确结论。

3. 3. 函数的凹凸性和拐点

（1）函数的凹凸性的定义 如果在

的两旁，

f??x?不变号，则

f?x?在

x0?a,b??a,b?上，曲线

y?f?x?始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称

y?f?x?该曲线在上是凸的（或凹的）。函数称为

?a,b?上的凸函数（或凹函数）。

（2）凸函数的性质 （a）若

f?x?是

?a,b?上的凸函数，则对任意x0??a,b?及x??a,b?有

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?（b）若（c）若

f?x?是

?a,b?上的凸函数,并且在?a,b?上可导，则f??x?在?a,b?上单调不减。

?0,?1??2?1

，

fx?是

x,x??a,b??1,?2?a,b?上的凸函数，

则对任意不相等的12及

f??1x1??2x2???1f?x1???2f?x2?有 。

（3）凹凸性判别的充分条件

设

f?x?在

?a,b?上二阶可导，若在

，则

f?x??a,b??a,b?上，

f???x??0，则

f?x?在

?a,b?上是凸的；

若在上，

（4）拐点

?a,b?f???x??0在上是凹的。

0拐点的定义：若连续曲线

y?f?x?在点

?x,f?x0??的近旁发生凹凸性改变，则称点

?x0,f?x0??为曲线

y?f?x?的拐点。

?x,f?x0??是曲线y?f?x?的拐点，则x0是使f???x0??0的点或

拐点的必要条件：若点0f???x0?者是使不存在的点。

y?f?x?x0f???x0?x拐点判别的充分条件：设在的某邻域内二阶可导（0处可以不存在，f?x?f???x?xx?x,f?x0??是曲线但在0处连续），若在0的两旁符号发生改变，则点0的拐点。 4. 函数作图的步骤 （1） （1） 确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求f??x?f???x?出及。

f??x??0f???x??0（2） （2） 在函数的定义域内求出方程和的根，以及一阶，二阶导数不存在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。 （3） （3） 列表并在每一个部分区间内确定，的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。 （4） （4） 确定函数图形的渐近线。 （5） （5） 标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），（4）的结果，光滑的连接这些点作出

y?f?x?f??x?y?f?x?f???x?的图形。

f?x?（二） 函数的最值

由于开区间内的最值点也为极值点，所以行：

在计算

?a,b?上的最值可按以下步骤进

f?x??a,b?f?x??a,b?(1) (1) 求出在内的所有驻点和导数不存在的点，即求出在内的所

有可能的极值点。

(2) (2) 计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。

f?x??a,b?(3) (3) 比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为在上的最大值和最小值。

在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。

（三） 相关变化率问题的处理方法

根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。

（四） 平面曲线的曲率

k?lim???s21．曲率的定义：

2?s?0?d?ds

22．弧微分公式：

(ds)?(dx)?(dy)

[x?(t)]?[y?(t)]dt22??x?x?t???y?y?t???t??ds?（1）若曲线方程为 ? ，则

，

其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。 （2）若曲线方程为 （3）若曲线方程为

y?f?x?,a?x?br?r???,?????y??，则 ，则

ds?ds?21?[f?(x)]dx2。

2r(?)?[r?(?)]d?。

k?3．曲率计算公式 ：

?1??y???232。

R?1k??1??y???232y??4．曲率半径的计算公式 ： 。

（五）导数在经济学中的应用

1．基本概念 边际 设函数

f?(x0)y?f(x)f(x)在点x处可导，则称导数值

xf?(x)为函数

f(x)在点x的边际（函数），

称为函数在点0的边际（函数）值。

C(Q)成本函数 T表示产品数量为Q时所化费的总成本。

CT(Q)C(Q)?平均成本函数

边际成本 对于总成本函数

CT(Q)Q，其中Q表示产量，则生产第Q个单位产品时所化的成

CM(Q)?dCT(Q)dQ本称为边际成本，边际成本的记号及计算公式为

边际收益 当销售价为P，销售量为Q时，总收益函数为

RM?dRTdQ?QdPdQ?P。

，则其边际收益为

RT?PQ。

R(Q)?CT(Q)L(Q)边际利润 销售Q件产品后总收益与总成本之差T为总利润，记为T，

LM(Q)?dLT(Q)dQ其边际利润为 2．弹性分析

?(Q)?CT?(Q)?RM?CM?RT。

?y弹性 设函数y?f(x)在点x(?0)处可导，函数的相对改变量y?x?f(x??x)?f(x)f(x)（f(x)?0），与自变量的相对改变量x之比称为函数y?f(x)在x与x??x之间的平

?y?xxdy?yx?lim???x?0yxydx。 均弹性。函数y?f(x)在x点的弹性为

dQP?QP??dPQ。 需求价格弹性

??1??1 若QP，涨价则引起收入减少；若QP，涨价则引起收入增加。 收益价格弹性

?RP?PdRRdP?1??QP。

学习指导

本章的内容较多，但主要的习题可分为三类问题： 1. 1. 直接求函数的单调区间，极值，最值，凹凸区间，拐点，曲率等； 2. 2. 利用单调性，最值，凹凸性证明不等式； 3. 3. 求相关变化率，最值等的应用题。

解以上问题的要点是：

1. 1. 正确地计算出各阶导数；

2. 2. 对各个基本概念的理解要准确；

3. 3. 对增或减，凹与凸，极大与极小的判别法要正确使用； 4. 4. 证不等式时，要通过恒等变形选取合适的辅助函数

f??x?，通过是否变号f???x?来确定是用单调性还是用最值证不等式，有时可能需要通过的符号来判别

f?x?f??x?的符号。

5. 5. 凸函数的常用不等式为：

（a） （a） （b） （b）

其中

f??x??f?x0???0fx??x?0x?,,x0x??x?2 ，

,a? b；

f??1x1??2x2f???1f?x?1??2?x1,x2??a,b,1??2?1?,?1,?2?0?。

第5章 积分 内容提要

一、定积分

1 定积分的定义

?a,b?上有定义,在区间?a,b?内任意插入n?1个分点

设函数f(x)在

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,??i??xi?1,xi?,?xi?xi?xi?1(i?1,2,?,n)n记

??max?xi1?i?n,若极限

lim?f(?i)?xi??0i?1存在(极限值与?a,b?的分法无关,与

?i??xi?1,xi?的取法无关),则称此极限值为f(x)在?a,b?上的定积分,记为

?baf(x)dx,同时称f(x)在?a,b?上可积.

函数f(x)在?a,b?上可积的必要条件是: f(x)在?a,b?上有界.

函数f(x)在?a,b?上可积的充分条件是: f(x)在?a,b?上连续或分段连续. 2 定积分的几何意义

由曲线,直线x?a,y?b和x轴所界的各个图形面积的代数和(如图),其中x轴上方图形的面积带“?”号, x轴下方图形的面积带“?”号. y y?f?x?

A2A4A6 A7baoA3A5A1x

3 定积分的性质

以下性质都是针对函数在所示区间上可积而言 (1).(2).(3). (4).

by?f?x??a?k1f1(x)?k2f2(x)?dx?bab?k1?f1(x)dx?k2?f2(x)dxaabb, 其中k1,k2为常数.

f(x)dx?b?caf(x)dx?b?bcf(x)dx

??abf(x)dx??af(t)dta ,?aaaf(x)dx???f(x)dxbf(x)dx?0,?abbdx?b?a

(5).(定积分运算对被积函数的保序性)若在?a,b?上,f(x)?g(x),则

?af(x)dx??bbag(x)dx.特别有

?baf(x)dx??af(x)dx.

(6).(定积分的估值定理) 若在?a,b?上, m?f(x)?M, 则

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a).

(7) (定积分的中值定理) 若f(x)在?a,b?上连续,则????a,b?,使

?baf(x)dx?f(?)(b?a).

二、不定积分

1 原函数与不定积分的定义

(1)设f(x)是定义在某区间上的函数,若存在函数F(x),使在该区间上成立

F?(x)?f(x)(或dF(x)?f(x)dx),则称F(x)是f(x)在此区间上的一个原函数.

若F(x)和G(x)是f(x)的两个原函数,则F(x)?G(x)?c,其中c是某仪个常数.

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