高等数学(上)复习指导及要点解答(7)

为

否则称此广义积分发散.

f?x?在[a,??)上的广义积分.当极限

b???lim?f?x?dxab存在时,称此广义积分收敛,

设函数f?x?在(??,b]上连续， 称

?f?x?(??,b]b??f?x?dx＝

a???lim?babaf?x?dxf?x?dx

存在时,称此广义积分收敛,

为在上的广义积分, 当极限否则称此广义积分发散.

????a???lim?设函数f?x?在(??,??)上连续，c是任一实数, 称

?f?x?(??,??)f?x?dx??c??f?x?dx?c?????cf?x?dx??c

都收敛时,称此广

为在

义积分收敛,否则称此广义积分发散.

b上的广义积分, 当?f?x?dx和?f?x?dx定义2：设函数f?x?在(a,b]上连续且x?a是其奇点，称

?为

则称此广义积分发散.

f?x?af?x?dx＝

??0lim??ba??f?x?dx

在(a,b]上的广义积分.当极限

??0lim??ba??f?x?dx存在时,称此广义积分收敛,否

设函数f?x?在[a,b)上连续且x?b是其奇点，称

?f?x?dx＝?ablim??0?ab??af?x?dxf?x?dx

为在上的广义积分.当极限否则称此广义积分发散.

f?x?[a,b)??0lim??b??存在时,称此广义积分收敛,

学习指导

一、定积分的应用关键在于微元法 若所求量Q依赖于某区间

?a,b?以及在此区间上变化的某函数

f?x?,并且具

有可加性，即总量Q可分为局部量之和，则Q的值可通过定积分的计算来完成。

微元法解题步骤：

在

?a,b?的任一子区间

?x,x?dx?上写出

?Q?f(x)dx

（这一步往往是以“去弯取直，以不变代变”的思想获得，确切地说，是写出?Q?f(x)dx?o(?x)） 于是

dQ?f(x)dx从而有

具体步骤是：（1）建立坐标系；（2）建立微元dQ?f(x)dx；

（3）确定上、下限；（4）计算定积分。

二、广义积分

有的题目同时涉及广义积分的两种情况，要分开讨论。

aQ??bf(x)dx例：

???dxxx?1?lim1??2dxxx?1dxxx?11????dxxx?1

2?2dxxx?11??0??2t?x?11???lim??0???1?t?tdt212t?lim?2arctant|??01????2

2tdt2???dxxx?1t?x?12?????1?t?tdt1?2arctant|1??2??xx?1所以

若其中之一是发散的，这广义积分即为发散。

???dx

1第8章 数列与无穷级数

内容提要

（一） （一） 数列 1． 1． 数列极限的定义

a?L?a?若??>0，?正整数N，使得当n?N时成立n

限，或称数列

2． 2． 数列极限的运算法则 若

lim?an??L1n???an?，

收敛于L，记为

liman?Ln??。否则称数列

?an?发散。

limbn?L2n??，c是常数，则

lim?can??cL1n??；

；

lim?an?bn??L1?L2n??lim?anbn??L1L2n??；

limanbn 3．

n???L1L2,?L2?0?。

3． 数列极限的性质

liman?Lx??(1)若>0则

?正整数Nn??，当

n?N时成立

an>0；

若?正整数N，当n?N时成立an?0,且limbn?L，则L?0。

(2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则

(1) 夹逼准则（夹逼定理）:

单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 5． 数列极限与函数极限的联系

对于数列

x???若?正整数N，当n?N时成立an?bn?cn,且liman?limcn?L,则limbn?Ln??n??n??（2）

?an?，若存在定义域包含?1，??的函数f?x?，使f?n?liman?L?an，且

limf?x??L6． （1）若

，且n??6． 数列与数列的关系

liman?Ln??k??nk。

limank?Lk???a?是?a?的一个子数列，则，

n。

（2）若

（二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义

k??lima2k?lima2k?1?L，则n??liman?L。

n?k?nsn?k?1 称为级数n?1的部分和数列。

??u?u??sn???n?1,2,?n的前项部分和，而称数列为级数n?1?un 若级数

?un?1n的部分和数列

??sn?收敛，即

limsn?sn???，则称级数

??un?1n收敛，称s为该

级数的和，记为

??un?1nn?srn?s?sn?，同时称

?uk?n?1?k为级数

n?un?1n的余和。

若级数n?1的部分和数列

2．级数的基本性质

??u?sn?发散，则称级数n?1??u发散。

（１）若n?1??unn?s，c是常数，则n?1???cunn?cs。

?vn??s??（2）若n?1??u?un?1=s，n?1n?vn???，则n?1??u。

（3）若收敛，则也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

n?m?1??un（5）级数收敛的必要条件：若（三）数项级数 1．正项级数

??un?1n收敛，则n??limun?0。

（1）正项级数收敛的充要条件是其部分和数列（2）正项级数的比较判别法及其极限形式

n?1??un?sn?有界。

??n 设

0?un?vn?n?1,2,??，（１）若

?vn?1n收敛，则

?un?1收敛；（２）若

?un?1n发散，

?则

?vn?1n发散。

??n 设n?1与n?1均是正项级数，若相同的敛散性。

（3）正项级数的积分判别法

??u?vnlimunvnn???l?0?l??????n，则n?1?u与

?vn?1n具有

? 对于正项级数n?1???u，若存在单调减少的连续函数f?x?，使得

f?n??un，则级数n?1?unf?x?dx与广义积分?1具有相同的敛散性。 （4）正项级数比值判别法的极限形式

ulimn?1??n??uun 设?n为正项级数，且, 则

（a）

?<1时，级数??un收敛； ）时，级数?un （b）当>1（包含

????收敛；

??1时，本判别法失效。 （c）当

（5）正项级数根值判别法的极限形式 u 设?n为正项级数，且<1时，级数?>1（包含

limnn??un??, 则

（a）当 (b) 当

?un收敛；

un?????）时，级数?发散；

( c) 当??1时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法

??n?1 若正数列｛

un｝单调减少，且

limun?0n??, 则交错级数n?1?(?1)un（及n?1?(?1)nun）

r?un?1收敛，且余和n。 3. 绝对收敛与条件收敛

若?u收敛，则称?n绝对收敛； uuu 若?n发散，而?n收敛，则称?n条件收敛。

u 绝对收敛级数?n必收敛。

绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数

1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理

un??n 若幂级数n?0在某点的任一点处均绝对收敛；

??axnxnx?x0?(0)处收敛，则n?0??anxn在区间（

?x0,x0）内

若幂级数n?0?an在某点

x?x1处发散，则n?0?anxn在满足

x?x1的任一点x处均发

散。

（2）收敛半径的定义

? 若幂级数n?0?anxn??）内的任一点处均收不是仅在点x=0处收敛，也不是在（??，??n敛，则存在正数r，使当

?x?r时，n?0?axn收敛；而当

?x?r时，n?0?anxn发散，称此正

数r称为幂级数n?0??anxn的收敛半径。当n?0?anxn仅在点x=0处收敛时，定义收敛半径r=0;

??）上都收敛时，定义收敛半径r=+?。 当n?0在（??，(3) 收敛半径的计算

??anxn设幂级数n?0?anxn满足

1an?0n?N,（这里的N是某个正整数）,且

liman?1ann???L，

则 （a）当L>0时，r=L;

(b) 当L=0时，r= +?; (c) 当L= +?时，r=0。 （４）收敛区间与收敛域

??n?r） 当幂级数n?0的收敛半径r>0时，称（?r，是它的收敛区间；当判定n?0在x=?r处的敛散性后，可确定其收敛域。 2．幂级数的运算 （1）代数运算

??axn?anxn设

?an?0?n?0nxn?s1(x)，收敛域为

nI2，收敛半径

r1>０， r2 则

??bxn?s2(x)，收敛域

?nI2，收敛半径

?>０，

a)

?n?0(an?bn)x??n?0anxn??n?0bnxn

I1?I2 ＝

s1(x)?s2(x)?n，收敛域为

n；

b)

??nn(?ax)(?bx)?nnn?0n?0?(?n?0k?0akbn?k)x

s(x)s2(x) ＝1，收敛半径

（这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。 （2）、分析运算

?

r?min(r1,r2)

设

?n?0cnxn?s(x)，收敛域I，收敛半径r?0，则

a) 和函数s(x)在I上连续；

b) 和函数s(x)在(?r,r)内可导且可逐项求导：

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