2-2复习学案(7)

?cos?n,EP??n?EPnEP?3 ………………………………………………….13分 3由图可知二面角E?BE?B的平面角是钝角， 所以二面角E?BE?B的余弦值为?3．………………………………………….14分 34.（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， 所以AA1?AC,AA1?AB,

所以AA1?平面ABC，三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱. ??????1分 因为A1D?平面A1B1C1，所以CC1?A1D， ??????2分 又因为A1B1?AC11，D为B1C1中点，

所以A1D?B1C1. ?????3分 因为CC1?B1C1?C1,

所以A1D?平面BB1C1C. ?????4分 （Ⅱ）证明：连结AC1，交A1C于点O，连结OD，

因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点， 又D为B1C1中点，所以OD为?AB1C1中位线， 所以AB1//OD， ??????6分 因为OD?平面A1DC，AB1?平面A1DC， 所以AB1//平面A1DC. ??????8分

(Ⅲ)解： 因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， ?BAC?90，

所以AB,AC,AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A?xyz. 设AB?1，则C(0,1，0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D(,,1).

?z D C1A1 B1 x O y C A B ?????11????A1D?(,,0),AC?(0,1，?1)， ??????9分 122设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z)，则有

1122?n?A1D?0?x?y?0，?， x??y??z， ?n?AC?0y?z?0??1取x?1，得n?(1,?1,?1). ??????11分

????0)，???12分 又因为AB?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为AB?(1,0，????????n?AB13， ??????13分 cosn,AB???????33nAB31

因为二面角D?AC1?A是钝角， 所以，二面角D?AC1?A的余弦值为?3. ??????14分 3

5.解法一：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F， 则?DAE??FBE，∴BF?AD?1，∴CF?4，∴tan?F?又∵tan?ACD?DC1?， CF2AD1?，∴?F??ACD，

P DC2??又∵?ACD??ACF?90，∴?F??ACF?90，

?∴?CGF?90，∴AC?DE

又∵PC?底面ABCD，∴PC?DE，∴DE?平面PAC， ∵DE?平面PDE，∴平面PDE?平面PAC H C （Ⅱ）连结PG，过点C作CH?PG于H点，

则由（Ⅰ）知平面PDE?平面PAC， 且PG是交线，根据面面垂直的性质，

D 得CH?平面PDE，从而?CPH即

?CPG为直线PC与平面PDE所成的角.

A E

2245CD2??在Rt?DCA中，CG?，

225AC2?1CG在Rt?PCG中，tan?CPG?

PC452525. 所以有?CPG?arctan， ?5?52525即直线PC与平面PDE所成的角为arctan 51（Ⅲ）由于BF?CF，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离

4452?PC?CG4115??， 的，即CH. 在Rt?PCG中，CH?44PC2?CG2452322?()51z 从而点B到平面PDE的距离等于 3P 解法二：如图所示，以点C为坐标原点， 直线CD,CB,CP分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系C?xyz，

则相关点的坐标为C(0,0,0),A(2,1,0) C 32

B F

D x A E B y

B(0,3,0)，P(0,0,2)，D(2,0,0)，E(1,2,0).

????????（Ⅰ）由于DE?(?1,2,0)，CA?(2,1,0)， ????CP?(0,0,2)，

????????所以DE?CA?(?1,2,0)?(2,1,0)?0， ????????DE?CP?(?1,2,0)?(0,0,2)?0， 所以DE?CA,DE?CP，

而CP?CA?C，所以DE?平面PAC，∵DE?平面PDE， ∴平面PDE?平面PAC

???????????（Ⅱ）设n?(x,y,z)是平面PDE的一个法向量，则n?DE?n?PE?0，

???????? 由于DE?(?1,2,0)，PE?(1,2,?2)，所以有 ???????n?DE?(x,y,z)?(?1,2,0)??x?2y?0， ????????n?PE?(x,y,z)?(1,2,?2)?x?2y?2z?0?令x?2，则y?1,z?2，即n?(2,1,2)，

????再设直线PC与平面PDE所成的角为?，而PC?(0,0,?2)，

??????????n?PC|(2,1,2)?(0,0,?2)|2??????， 所以sin??|cos?n,PC?|??|n|?|PC||(2,1,2)|?|(0,0,?2)|322∴??arcsin，因此直线PC与平面PDE所成的角为arcsin

3?3????（Ⅲ）由（Ⅱ）知n?(2,1,2)是平面PDE的一个法向量，而BE?(1,?1,0)，

?????|n?BE||(2,1,2)?(1,?1,0)|1所以点B到平面PDE的距离为d??? ?|(2,1,2)|3n

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