2-2复习学案(5)

空间向量及应用

要求：

1. 空间向量的概念和运算要掌握好；

2. 模型化方法：平行六面体对角线长的求法； 3. 向量方法证明位置关系和求“三角一距离”（用好直线的方向向量的平面的法向量）

●异面直线所成的角为?：

cos??a?ba?b??（其中a,b是两异面直线的方向向量）

●直线l的方向向量为a,直线l与平面所成的角为?,平面的法向量为u，直线l与平面法向量的夹角为?,则 sin??cos??a?ua?u

●二面角的两个面的法向量的夹角? (或其补角)就是二面角的平面角的大小。 先计算cos??u?vu?v??（其中u,v是两个面的法向量），然后转化为二面角的大小

???????|AB?n|??●.点B到平面?的距离 d?（n为平面?的法向量，AB是经过面?的|n|一条斜线，A??）.

11．E是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长CC1所在直线上一点，C1E?CC1?BC?AB?1．

21）求异面直线D1E与B1C所成角的余弦值； 2）求直线AC与平面D1EB1所成的角；

3）求两平面B1D1E与ACB1所形成的锐二面角的余弦值； 4）求点A1到平面D1EB1的距离；

21

A1D1aB1CDbABCC1E2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点， DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC

A1 B1 D A

B E

C1

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

C

3.在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD， ABCD为直角梯形，BC//AD，

1AD?1，PA?PD，E,F为AD,PC的中点． 2（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

P（Ⅱ）若PC与AB所成角为45?，求PE的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

?ADC?90?，BC?CD?F

DC

E

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AB4.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90?,点D是棱B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：AB1//平面A1DC； （Ⅲ）求二面角D?AC1?A的余弦值.

5.如图所示，四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，?ADC??DCB?90，AD?1，（Ⅰ）求证：平面PDE?BC?3，PC?CD?2，PC?底面ABCD，E为AB的中点。平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角； （Ⅲ）求点B到平面PDE的距离。

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?B1

D C1A1

B

C A P

C D A E

B

第二部分

二1.D 2.C 3.B 4. y?8x或y?0(x?0) 4.B 5.A

2x2y2三1.A 2.B 3. y?3x4. ??1.

1642离心率问题

1.B 2.D3.C4.B 5.C 6.A7.C 五、

1.解：（1）设P(x0,y0),Q?x,y?，依题意，则点D的坐标为D(x0,0) ?????1分

????????∴DQ?(x?x0,y),DP?(0,y0) ??????2分

x?x0?0?x0?x????2???????即?又 DQ? ∴ ?DP23 ??????4分

3y?y0y0?y??32??x2y2∵ P在⊙O上，故x0?y0?9 ∴ ??1 ???????5分

94x2y2∴ 点Q的轨迹方程为??1 ?????????6分

94x2y2（2）假设椭圆??1上存在两个不重合的两点M(x1,y1),N?x2,y2?满足

9422?x1?x2?1????1???????????x1?x2?2?2即??9分 OE?(OM?ON)，则E(1,1)是线段MN的中点，且有?y?yy?y?2222?1?1?1??2x2y2又 M(x1,y1),N?x2,y2?在椭圆??1上

94?x12y12??1??x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2??12分 ?94∴ ?2 两式相减，得 ??0294?x2?y2?1?4?9∴ kMN?y1?y24?? ∴ 直线MN的方程为 4x?9y?13?0

x1?x29????1?????????∴ 椭圆上存在点M、N满足OE?(OM?ON)，此时直线MN的方程为

24x?9y?13?0 ??????14分

24

2.（Ⅰ）解：设点P的坐标为(x,y)．

由题意知2?(x?1)2?y2?2?x ???????????3分 化简得 x?2y?2

所以动点P的轨迹方程为 x?2y?2 ???????????5分 （Ⅱ）设直线FP的方程为x?ty?1，点P(x1,y1),Q(x2,y2) 因为?AQN∽?APM，所以有PM?3QN，由已知得PF?3QF，

所以有y1??3y2（1） ???????????7分 由?2222?x?ty?122?x?2y?2，得(t?2)y?2ty?1?0，??0

222t1（2），（3） ???????????10分 y?y??1222t?2t?211由（1）（2）（3）得t??1,y1?1,y2??或t?1,y1??1,y2?

33y1?y2??所以 存在点P为(0,?1) ????????13分

x2y23.解：（1）设椭圆E的方程为 2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.

ab由已知条件，得F(0,1)，

?b?1?3?c∴??

a2??a2?b2?c2? 解得

a?2,b?1.

x2?y2?1. ????4分 所以椭圆E的方程为：4（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意， 故可设直线l的方程为 y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)，

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