2-2复习学案(3)

（2）f?(x)?3x2?2ax?4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，有条件可得

?4a?8?0 所以 -2?a?2 .所以a的取值范围为??2,2? f?(?2)?0,f?(2)?0即?8?4a?0?a(x2?b)?ax(2x)ax8.(1)已知函数f(x)=2，. ……………………2分 ?f?(x)?22(x?b)x?b?a(1?b)?2a?0,?f?(1)?0,??a?4,又函数f(x)在x=1处取得极值2，??即?a …4分 ??f(1)?2,b?1.?2????1?b4(x2?1)?4x(2x)（41?x2）当a=4,b=1, ?f?(x)?， ?2222(x?1)(x?1)当?1?x?1时，f?(x)?0,x?1时，f?(x)?0，?f(x)在x?1处取得极值. ?f(x)?4x. …………………6分 x?124(x2?1)?4x(2x)(2)由f?(x)??0?x??1. …………………8分

(x2?1)2x f?(x) f(x) (??,?1) ?1 0 极小值－2 (－1，1) + 1 0 极大值2 (1,??) － － ? ? ? 所以f(x)?4x的单调增区间为[?1,1]. …………………10分 2x?1?m??1,?若(m,2m?1)为函数f(x)的单调增区间，则有?2m?1?1, 解得?1?m?0.

?2m?1?m,?即m?(?1,0]时，(m,2m?1)为函数f(x)的单调增区间. ………………………12分 4(x2?1)?4x(2x)4x(3)?f(x)?2，?f?(x)?.

(x2?1)2x?1设切点为P(x0, y0),则直线l的斜率为

4(x02?1)?8x0221k?f?(x0)??4[?]. ………………………14分

(x02?1)2(x02?1)2x02?1令

1?t,t?(0,1]，则直线l的斜率k?4(2t2?t),t?(0,1]， 2x0?11?k?[?,4]. …………16分

29.解：（1）y?x3?3px2?3px?1， y??3x2?6px?3p，

若该函数能在x??1处取到极值，则y?|x??1?3?6p?3p?0,

即p?1，此时，y??3x2?6x?3?3(x?1)2?0，函数为单调函数，这与

11

该函数能在x??1处取到极值矛盾，则该函数不能在x??1处取到极值. （2）若该函数在区间(?1,??)上为增函数，

则在区间(?1,??)上，y??3x2?6px?3p?0恒成立，

?p??1?① ??p?1；

?f(?1)?3?6p?3p?0??p??1?② ??0?p?1， 2?f(?p)?3p?3p?0?综上可知，0?p?1.则p的取值范围是?0,1?

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10．解：（Ⅰ）由题意：f(x)的定义域为(0,??)，且f?(x)?1ax?a??2． xx2x

（4分）

?a?0,?f?(x)?0，故f(x)在(0,??)上是单调递增函数．

（Ⅱ）由（1）可知：f?(x)?x?a 2x① 若a??1，则x?a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，

?f?x??min?f?1???a?2

（6分）

． ?a??2（舍去）

② 若a??e，则x?a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，

??f?x??min?f?e??1?所以，a??e

a?2 e

（10分）

③ 若?e?a??1，令f?(x)?0得x??a，

当1?x??a时，f?(x)?0,?f(x)在(1,?a)上为减函数， 当?a?x?e时，f?(x)?0,?f(x)在(?a,e)上为增函数，

?f?x??min

?f??a??ln(?a)?1?2

（13分）

12

a??e（舍去）,

综上可知： a??e （六）

（14分）

1.解：（I）f?(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)

由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减

函数。

（II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。

21(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a 3432 ??a?4a?24a

3 f(2a)? f(0)?24a 由假设知

?a?1,?a?1?4??f(2a)?0, 即???a(a?3)(a?6)?0, 解得 1

w.w.w..s.5.u.c.o.m 3222.解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导得f?(x)?3x?2ax?1

当a?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；

2?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?，

32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?即f(x)在???，，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增。 ???3????内是减函数，所以当x???，??时f??x??0恒（2）因为函数f(x)在区间??，13

?2?31?3??2?31?3???2??f???3??0???成立，结合二次函数的图像可知?解得a?2．

?f???1??0?????3?

3.（1）当a?2时，f(x)?22 ?xlnx，f'(x)??2?lnx?1，f(1)?2，f'(1)??1，

xx所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为y??x?3； ???? 4分

（2）存在x1,x2?[0,2]，使得g(x1)?g(x2)?M成立

等价于：[g(x1)?g(x2)]max?M，

考察g(x)?x?x?3，g'(x)?3x2?2x?3x(x?)，

3

222x 0 (0,) (,2] 322

3332 g'(x) g(x) 0 ? 递减 0 极（最）小值?? 85递增 27?3 231 由上表可

知：g(x)min?g()??

85,g(x)max?g(2)?1， 27112， 27[g(x1)?g(x2)]max?g(x)max?g(x)min?所以满足条件的最大整数M?4； ???? 9分

121等价于：在区间[,2]上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，

21 由（2）知，在区间[,2]上，g(x)的最大值为g(2)?1。

21f(1)?a?1，下证当a?1时，在区间[,2]上，函数f(x)?1恒成立。

21a1当a?1且x?[,2]时，f(x)??xlnx??xlnx，

2xx11记h(x)??xlnx，h'(x)??2?lnx?1， h'(1)?0

xx11当x?[,1)，h'(x)??2?lnx?1?0；当x?(1,2]，

2x（3）对任意的s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)成立

14

1?lnx?1?0， x211所以函数h(x)??xlnx在区间[,1)上递减，在区间(1,2]上递增，

x2h'(x)??h(x)min?h(1)?1，即h(x)?1，

所以当a?1且x?[,2]时，f(x)?1成立，

即对任意s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)。 ???? 15分 4．解：

（Ⅰ）f?(x)?3ax?6x?3x(ax?2)．

因为x?2是函数y?f(x)的极值点，所以f?(2)?0，即6(2a?2)?0，因此a?1． 经验证，当a?1时，x?2是函数y?f(x)的极值点． ···················································· 4分 （Ⅱ）由题设，g(x)?ax?3x?3ax?6x?ax(x?3)?3x(x?2)． 当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，

322221212g(0)≥g(2)，

即0≥20a?24．

6． ························································································································· 9分 56反之，当a≤时，对任意x?[0，2]，

56g(x)≤x2(x?3)?3x(x?2)

53x?(2x2?x?10) 53x?(2x?5)(x?2) 5故得a≤≤0，

而g(0)?0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．

综上，a的取值范围为???，?． ······················································································ 12分

15

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