由??y?kx?1?x?4y2
消去y并整理得 x?4kx?4?0，
∴ x1x2??4 . ????5分 ∵抛物线C的方程为y?2121x，求导得y??x， 42∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是
11x1(x?x1)， y?y2?x2(x?x2)， 22112112即 y?x1x?x1 ， y?x2x?x2，
2424 y?y1?解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(x1?x2x1x2x?x2,)，即M(1,?1)，??7分 242?????????x?x1212122∴FM?AB?(1,?2)?(x2?x1,y2?y1)?(x2?x12)?2(x2?x1)?0
2244∴AB?MF. ????9分 （3）假设存在点M?满足题意，由（2）知点M?必在直线y??1上，又直线y??1与椭圆E有唯一交点，故M?的坐标为M?(0,?1)，
设过点M?且与抛物线C相切的切线方程为：y?y0?令x?0,y??1得，?1?1x0(x?x0)，其中点(x0,y0)为切点. 2121x0?x0(0?x0)， 42 解得x0?2或x0??2 ， ????11分 故不妨取A?(?2,1),B?(2,1)，即直线A?B?过点F.
综上所述，椭圆E上存在一点M?(0,?1)，经过点M?作抛物线C的两条切线M?A?、M?B?（A?、B?为切点），能使直线A?B?过点F.
此时，两切线的方程分别为y??x?1和y?x?1. ????12分
4． 解：（1）由题意得，F1(?1,0),F2(1,0),圆F1的半径为22，且|MF2|?|MP| ? 1分 从而|MF1|?|MF2|?|MF1|?|MP|?|PF1|?22?|F1F2| ???? 3分 ∴ 点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, ???? 5分
26
其中长轴2a?22,得到a?2,焦距2c?2， 则短半轴b?1
x2椭圆方程为:?y2?1 ???? 6分
2?y?kx?n?（2）设直线l的方程为y?kx?n,由?x2 2?y?1??2可得(2k2?1)x2?4knx?2n2?2?0
则??16k2n2?8(n2?1)(2k2?1)?0,即2k2?n2?1?0 ① ???? 8分
?4kn2n2?2设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1?x2?2 ,x1x2?22k?12k?1????????由OP?OQ?0可得x1x2?y1y2?0,即x1x2?(kx1?n)(kx2?n)?0 ????10分
整理可得(k2?1)x1x2?kn(x1?x2)?n2?0 ????12分
(k2?1)(2n2?2)?4kn即?kn?()?n2?0 222k?12k?11, 222故直线l在y轴上截距的取值范围是(??,?)?(,??)． ????14分
225.
化简可得3n2?2k2?2,代入①整理可得n2?解：（1）设双曲线方程为
，
∴对于双曲线C：c=2， 又∴
为双曲线C的一条渐近线， ，解得
，
，由椭圆
，求得两焦点为
∴双曲线C的方程为。
27
（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零， 设l的方程：则
， ，
∴
，
，
，
∴，
∵∴∴∴同理有：若∴∴
在双曲线C上，
，
， ，
，
则直线l过顶点，不合题意，∴
是二次方程
，∴
，
， 的两根，
此时△＞0，∴k=±2，
∴所求Q的坐标为（±2，0）。
第三部分 答案
1. (1)104512,(2),(3),(4) 1015932.（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
28
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E（
?1b，，c）. 22?1b于是DE=（，，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，
22DE?BC=0，求得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量AN?(x,y,z),则AN?BC?0,AN?BD?0.
?????????x?y?0又BC=（-1，1， 0），BD=（-1，0，c）,故?
?x?cz?0???1?1令x=1, 则y=1, z=,AN=(1,1, ).又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）
cc由二面角A?BD?C为60°知，AN，AC=60°， 故 AN?AC?AN?AC?cos60°，求得c?12
?1，2）（1，1，2）于是 AN? ， CB1?(1，CB1? ,cosAN， AN，CB1?60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30° 3.（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO
AN?CB1AN?CB1?1， 2? BC //AD ,BC?1AD, E为AD中点 2? AE//BC，且AE=BC
? 四边形ABCE为平行四边形
? O为AC中点 ………………………………….………………..1分
又 F为AD中点
? OF//PA ……………………………………………...….2分 ? OF?平面BEF,PA?平面BEF ……………...….3分
? PA//平面BEF ………………………………………..……..…..4分
（Ⅱ）解法一：
?PA?PDE为AD中点?PE?AD
?侧面PAD?底面ABCD,侧面PAD?底面ABCD?AD,PE?平面PADzP
?PE?平面ABCD………………………….…………………
29
F6分
EADOCByx易知 BCDE为正方形
?AD?BE
建立如图空间直角坐标系E?xyz，PE?t（t?0） 则E?0,0,0?,A?1,0,0?,B?0,1,0?,P?0,0,t?,C??1,1,0?
?PC???1,1,?t?,AB???1,1,0?
?PC与AB所成角为450
PC?ABPCAB1?1?02?t222，…….………8分 2?cos?PC,AB????cos450?解得：t?
2 ?PE?2 …………………………….9分
解法二：由BCDE为正方形可得 EC?由ABCE为平行四边形 可得EC //AB
2BC?2
??PCE为PC与AB所成角 即?PCE?450…………………………………..…5分
?PA?PDE为AD中点?PE?AD
?侧面PAD?底面ABCD,侧面PAD?底面ABCD?AD,PE?平面PAD ?PE?平面ABCD …………………………………….…7分 ?PE?EC ………………………………………….8分 ?PE?EC?2 ……………..………9分
（Ⅲ）F为PC的中点，所以 F????2,2,2?????112?，
?112??EB??0,1,0?,EF????2,2,2?
??设n??x,y,z?是平面BEF的法向量
?n?EB?y?0,?则 ? 112n?EF??x?y?z?0．?222?取x?2，则z?2，得n?2,0,2 ……………………………………………….11分
?? EP?0,0,2是平面ABE的法向量 ………………………………………………….12分
30
??
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