圆锥曲线30道基础题(7)

整理得x=36﹣y﹣12y③， 把③代入椭圆方程，得； 2264（36﹣y﹣12y）+100y=100×64， 2整理得，9y﹣192y﹣1024=0， 解得y=当y=，或y=﹣时， （不合题意，舍去）； 22x=100（1﹣2）， ∴x=±10， 根据椭圆的对称性得，P（±10，）， 或P（±10，）； 22（2）根据椭圆的定义与几何性质，得|PF1||PF1|的最大值是（a+c）=（10+6）=256． 点评： 本题考查了直线与椭圆的标准方程以及几何性质的应用问题，题目中求点P的坐标数据不合适，是易错题． 29．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，|PF1|?|PF2|的最大值为

4，且椭圆C的离心率是双曲线﹣=1的离心率的倒数．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若O为坐标原点，B为椭圆C的右顶点，A，M为椭圆C上任意两点，且四边形OABM为菱形，求此菱形面积． 考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 2分析： （1）设椭圆的焦距为2c，利用基本不等式推出|PF1|?|PF2|≤a，求出a=2．利用双曲线与椭圆的离心率关系，即可求出椭圆的标准方程． （2）求出椭圆C的右顶点B的坐标，通过AM与OB相互垂直且平分，设A（1，m），代入椭圆方程得+m=1，求出m，然后求解面积． 解答： 解：（1）设椭圆的焦距为2c，则|PF1|?|PF2|≤（222）=（2）=a， 22当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|?|PF2|取得最大值a，故a=4，则a=2．

而双曲线﹣=1的离心率为=，故椭圆的离心率为， 即=，故c=，所以b=1， +y=1．（6分） 2所以椭圆的标准方程为（2）椭圆C的右顶点B的坐标为（2，0）． 因为四边形OABM为菱形，所以AM与OB相互垂直且平分， 所以可设A（1，m），代入椭圆方程得+m=1，即m=±所以菱形OABM面积为|OB||AM|=×2×=2， ．（12分） 点评： 本题考查双曲线与椭圆方程的应用，基本性质的考查． 30．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点P（1，

），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线l：mx+ny+n=0（m，n∈R）交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）由题设知a=，所以，椭圆经过点P（1，），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程 （2）首先求出动直线过（0，﹣）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x+（y+）=22；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x+y=1．由22．由此入手可求出点T的坐标． 解答： 解：（1）∵椭圆两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形． ∴a=b，∴， 又∵椭圆经过点P（1，∴a=），代入可得b=1， （3分） ，故所求椭圆方程为（2）证明：因为动直线过（0，﹣）点． 当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x+（y+）=当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x+y=1． 2222；

由，解得x=0，y=1， 所以当l与y轴平行时以AB为直径的圆过点（0，1） 若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=kx﹣ 由所以（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0， 设点A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=，（9分） 设定点（0，1）为T，又因为=（x1，y1﹣1），2=（x2，y2﹣1）， +=﹣所以=x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=（1+k）x1x2﹣+=0， 所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）． 点评： 本题考查圆锥曲线的性质和综合运用，计算量较大，解题时要认真审题，仔细求解．

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