圆锥曲线30道基础题

一．解答题（共30小题）

1．（2015?徐汇区一模）已知椭圆γ：原点．

（1）若P是椭圆γ上任意一点，

，求m+n的值；

的取值范围；

，

，试探究λ1+λ2

2

2

=1的右焦点为F，左顶点为R，点A（2，1），B（﹣2，1），O为坐标

（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（t，0），t∈（2，5），求

（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆γ于C，D两点，交y轴于点E，若是否为定值，说明理由．

2．（2015?洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C

+

=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y

﹣2=0对称．

（l）求圆C的方程；

（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．

3．（2015?大庆二模）抛物线M：y=2px（p＞0）的准线过椭圆N：

2

+y=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t

2

＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C． （Ⅰ）求抛物线M的方程； （Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．

4．（2015?杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线

和曲线

组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲

线的焦点；

（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；

（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；

（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．

5．（2014?北京模拟）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．

6．（2013?曲靖二模）已知椭圆C：（1）求椭圆C方程；

（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求

7．（2011?厦门模拟）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的长轴长为12，右顶点为A，F1，F2分别是椭圆E的左、

?

的取值范围．

+

=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（

，﹣2）．

右焦点，且|AF1|=5|AF2|． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

22

（Ⅱ）圆C：（x﹣2）+y=4，点P是椭圆E上任意一点，线段CP交圆C于点Q，求线段PQ长度的最小值．

8．（2006?天津）如图，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

、F2分别为左、右焦点，M为左准

线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程； （II）设A（m，0）和

．

（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线

于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

9．已知P为⊙B：（x+2）+y=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹

2

2

方程．

2

2

10．已知A，B是⊙0：x+y=4与x轴的两个交点，C是⊙O上异于点A，B的任意一点，过点B作直线l的垂线BP，且与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程．

11．设F1，F2，分别是椭圆

+

=1的左右焦点，已知定点A（0，﹣1），B（0，3），C（3，3），以点C为焦点

作过A，B两点的椭圆．

（1）求另一焦点D的轨迹G的方程；

（2）过点A的直线l交曲线G于P，Q两点，若

12．已知直线x+y﹣1=0与椭圆

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=x上．

2

2

=3，求直线l的方程．

（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x+y=1上，求椭圆的方程；

（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设

=λ

，试确定实数λ

的取值范围．

13．已知点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程；

（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：

．

14．已知抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，且抛物线上一点N（m，﹣2）到焦点的距离为6 （1）求此抛物线的方程；

（2）设抛物线方程的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于AB两点，且交准线l于点M，已知求λ1+λ2的值．

15．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F（2，0） （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．

2

=λ1，=λ2

，

16．已知抛物线C：y=2px（p＞0）过点A（1，m），点A到焦点的距离为2． （1）求抛物线C的方程及m的值． （2）是否存在斜率为﹣2的直线l，使得l与C有公共点，且l与直线y=﹣2x的距离为若不存在，说明理由．

22

？若存在，求出l的方程：

17．已知抛物线C：y=mx（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，

过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． （1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．

18．过双曲线

﹣

=1的右焦点F2作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点．

（1）求线段AB的长； （2）若△AF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F1为左焦点）．

19．如图，若F1，F2是双曲线

﹣

=1的两个焦点．

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|?|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．

20．如图所示，椭圆过点（1）求椭圆的方程．

（2）若动点P（x，y），符合条件：

，当y≠0时，求证：动点P（x，y）一定在椭圆内部．

，点F、A分别为椭圆的右焦点和右顶点且有

．

21．设椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足AF1=2F1B，

且AB=3，△ABF2的周长为12． （1）求AF2；

（2）若cos∠F1AF2=﹣，求椭圆E的方程．

22．已知抛物线y=4x，椭圆试求：

（1）m的值；

（2）P、Q两点的坐标； （3）△PF1F2的面积．

23．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．

24．过抛物线C：y=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点． （1）若|AB|=4，求直线AB的方程；

（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．

25．已知双曲线x﹣

2222

+

=1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，

=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

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