圆锥曲线30道基础题(5)

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 2分析： （Ⅰ）根据已知中抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F（2，0），求出p值，可求抛物线的标准方程； （Ⅱ）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值． 2解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F（2，0）， ∴=2， 解得：p=4， 故抛物线C的标准方程为：y=8x； （Ⅱ）∵点A的横坐标为2， 故A点的坐标为（2，4），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知设PA：m（y﹣4）=x﹣2，即：x=my﹣4m+2， 22代入抛物线的方程得：y=8（my﹣4m+2），即y﹣8my+32m﹣16=0， 则：y1+4=8m，故：y1=8m﹣4， 设PB：﹣m（y﹣4）=x﹣2，即：x=﹣my+4m+2…（6分） 同理可得：y2=﹣8m﹣4，…（10分） 直线AB的斜率kAB===﹣1， 2所以：直线AB的斜率为定值． …（12分） 点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键． 16．已知抛物线C：y=2px（p＞0）过点A（1，m），点A到焦点的距离为2． （1）求抛物线C的方程及m的值． （2）是否存在斜率为﹣2的直线l，使得l与C有公共点，且l与直线y=﹣2x的距离为？若存在，求出l的方程：若不存在，说明理由． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用抛物线的定义，可求抛物线C的方程及m的值． （2）设方程为y=﹣2x+b，利用l与直线y=﹣2x的距离为，求出b=±5，再进行验证即可． 2解答： 解：（1）∵抛物线C：y=2px（p＞0）过点A（1，m），点A到焦点的距离为2， 2

∴1+=2， ∴p=2， 2∴抛物线C的方程为y=4x，m=±2； （2）设方程为y=﹣2x+b，则 ∵l与直线y=﹣2x的距离为，

∴=， ∴b=±5， ∴y=﹣2x±5， 22y=﹣2x+5与y=4x联立可得y+2y﹣10=0，此时△=4+40＞0，满足题意； 22y=﹣2x﹣5与y=4x联立可得y+2y+10=0，此时△=4﹣40＜0，不满足题意． 点评： 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 17．已知抛物线C：y=mx（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． （1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 22（1）抛物线C：y=mx（m＞0），即x=y，可求出焦点坐标； 2

（2）利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值． 解答： 解：（1）抛物线C：y=mx（m＞0），即x=y， ∴抛物线C的焦点为F（0，）； 22（2）∵抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3， ∴2+=3， ∴m=． 点评： 本题考查抛物线的定义与性质，正确运用抛物线的定义是关键． 18．过双曲线

﹣

=1的右焦点F2作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点．

（1）求线段AB的长；

（2）若△AF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F1为左焦点）． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）直接把右焦点坐标代入双曲线方程求得A，B的纵坐标，则答案可求； （2）由△AF1F2为等腰直角三角形可得解答： 解：（1）作出双曲线﹣，借助于隐含条件转化为关于e的方程得答案． =1的图象如图，

∵F2（c，0），在双曲线方程中，取x=c，得， ∴∴|AB|=． ； （2）若△AF1F2为等腰直角三角形， 则2，即c﹣a=2ac， 22e﹣2e﹣1=0，解得e=． 点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题． 19．如图，若F1，F2是双曲线

﹣

=1的两个焦点．

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|?|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据双曲线的定义解答； 22（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|+|PF2|的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2 的值进而求得∠F1PF2． 解答： 解：（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16﹣n|=2×3，解得n=10或22； （2）根据双曲线的方程可知，a=3，b=4，c=5 则|F1F2|=2c=10，|PF1|﹣|PF2|=2a=2×3=6 22∴|PF1|+|PF2|﹣2|PF1||PF2|=36， 222∴|PF1|+|PF2|=100=|F1F2|，

∴∠F1PF2=90°， ∴△F1PF2的面积为|PF1|?|PF2|=32×=16． 点评： 本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到|PF1|、|PF2|的位置关系，从而求面积． 20．如图所示，椭圆过点（1）求椭圆的方程．

（2）若动点P（x，y），符合条件：

，当y≠0时，求证：动点P（x，y）一定在椭圆内部．

，点F、A分别为椭圆的右焦点和右顶点且有

．

考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用． 专题： 计算题；综合题． 分析： 222（1）先根据题意确定b=，再由可以得到a=c，最后根据椭圆的基本性质a=b+c可以求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程． （2）先求出点F，M，A的坐标，根据P满足条件可得到p轨迹方程，然后与椭圆方程联立发现仅有一个公共点A（3，0），又因为当y≠0时考虑，故要舍弃，从而得证． 解答： 解：（1）依题意得：b=∵， ∴2（a﹣c）=c， ∴a=c ∵a=b+c，∴c=2 ∴a=3，c=2，b=， 故椭圆的方程 （2）由动点P（x，y）符合条件22222． ，F（2，0）、M（1，0）、A（3，0） 得P（x，y）的轨迹方程：（x﹣2）+y=1，是以F（2，0）为圆心，1为半径的圆． 联立椭圆的方程得：公共点仅为A（3，0） 又y≠0所以A（3，0）舍去，从而该圆始终在椭圆内部． 故动点P（x，y）一定在椭圆内部．

点评： 本题主要考查椭圆的基本性质和动点的轨迹方程．椭圆在圆锥曲线中占据重要的位置，在高考中所占的比重特别大，一定要强化复习． 21．设椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足AF1=2F1B，

且AB=3，△ABF2的周长为12． （1）求AF2；

（2）若cos∠F1AF2=﹣，求椭圆E的方程． 考点： 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据椭圆的定义求解即可． （2）结合椭圆的定义和余弦定理求解即可． 解答： 解：如图：（1）AF1=2F1B，AB=3， ∴AF1=2F1B=1， ∵4a=12， ∴a=3， ∴AF1+AF2=6， ∴AF2=4 （2）∵AF1=2，AF2=4，cos∠F1AF=﹣， ∴∴c=， ， ∴椭圆的方程为： 点评： 本题主要考查椭圆的定义和性质，属于基础题． 22．已知抛物线y=4x，椭圆试求：

2

+

=1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，

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