圆锥曲线30道基础题(4)

9．已知P为⊙B：（x+2）+y=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹

2

2

方程．

考点： 椭圆的定义． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程． 解答： 解：（1）圆C的圆心为B（﹣2，0），半径r=6，|BA|=4． 连结QA，由已知得|QA|=|QP|， ∵|QB|+|QA|=|QB|+|QP|=BP=r=6＞|BA|． 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于6的椭圆， 222即a=3，c=2，b=a﹣c=9﹣4=5， ∴点Q的轨迹方程为+=1． 点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题． 10．已知A，B是⊙0：x+y=4与x轴的两个交点，C是⊙O上异于点A，B的任意一点，过点B作直线l的垂线BP，且与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程．

2

2

考点： 椭圆的定义． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设P（x，y）．由题意可得C（﹣1+，），由C在圆上，代入即可得出点P的轨迹方程． 解答： 解：设P（x，y）．连接OC，则OC⊥过点C的切线l， ∵BP⊥点C的切线，∴OC∥BP ∵OA=OB，∴CA=CP即C是AP的中点． ∵A（﹣2，0），P（x，y），∴C（﹣1+，）， ∵C在圆上

∴（﹣1+）+（）=4 即点P的轨迹方程是：x﹣4x+y=12． 点评： 本题主要考查点的轨迹方程的求法﹣﹣代入法的运用，属于基础题． 11．设F1，F2，分别是椭圆

+

=1的左右焦点，已知定点A（0，﹣1），B（0，3），C（3，3），以点C为焦点

2222作过A，B两点的椭圆．

（1）求另一焦点D的轨迹G的方程；

（2）过点A的直线l交曲线G于P，Q两点，若

=3

，求直线l的方程．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据椭圆的定义可得另一焦点D的轨迹G的方程； （2）直线l与曲线G联立方程可得x1，x2，结合解答： 解：（1）设另一焦点D（x，y）， 有椭圆的定义可得：|AD|+|AC|=|BD|+|BC|， 即22=3，可求得斜率k，即可得直线l的方程． =， 即：x﹣3y+6y=0， 22所以另一焦点D的轨迹G的方程是x﹣3y+6y=0， （2）设直线方程为：y=kx﹣1①， 2222把①代入x﹣3y+6y=0得：（3k﹣1）x﹣12kx+9=0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∴，③ 由于=3， ∴（﹣x1，﹣1﹣y1）=3（x2，y2+1）， ∴，④， 把④代入③得， 解得：k=， 直线l的方程：或=0． 点评： 本题主要考察椭圆的定义，向量的应用，属于中档题． 12．已知直线x+y﹣1=0与椭圆

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=x上．

（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x+y=1上，求椭圆的方程；

（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设的取值范围． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程x+y﹣1=0与椭圆 22

=λ，试确定实数λ

+=1（a＞b＞0）的方程，利用韦达定理可求得M（，），点M在直线l：y=x上，可求得a=2b；再设右焦点为F2（c，0），，），利用点P在单位圆x+y=1上，可求得a、b、c的值； 2222222对称点为P（x，y），依题意可求得P（（2）分）①过D（0，2）的直线垂直于x轴，②过D（0，2）的直线不垂直于x轴时两类讨论，利用向量的坐标运算与韦达定理可得到关于λ的不等式，解之即可得实数λ的取值范围． 解答： 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立ab=0，由韦达定理， 22，整理得：（a+b）x﹣2ax+a﹣22222， ∴M（，）， ∵点M在直线l：y=x上， ∴=?a=2b；再设右焦点为F2（c，0），对称点为P（x，y），由对称性知22，解得，又点P在单位圆x+y=1上， 22∴+=1，解得c=1，又c=a﹣b=2b﹣b=1，∴a=2，b=1， +y=1． ==； 222222222∴椭圆的标准方程为（2）①过D（0，2）的直线垂直于x轴，易知λ=②过D（0，2）的直线不垂直于x轴时，设直线的斜率为k，直线方程为y=kx+2，联立，

整理得（2k+1）x+8kx+6=0， 22设E（x1，y1），F（x2，y2），韦达定理得，又=（x1，y1﹣2）=（x2，y2﹣2），=λ， ∴，?λ=，∴=?++2=＜， 即+2＜，整理得：3λ﹣10λ+3＜0，解得＜λ＜3． 2点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，综合考查点关于直线的对称、直线与圆锥曲线方程的联立韦达定理的应用及方程思想、等价转化思想、解不等式的能力，属于难题． 13．已知点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程；

（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：

．

考点： 抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论； （2）设l1的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P1P2|，以﹣代入，可得|Q1Q2|，代入可得结论． 解答： （1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等， 由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线， 设方程为y=2px（p＞0），∵=1，∴p=2． ∴轨迹C的方程为y=4x． 222（2）证明：设l1的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得kx﹣（2k+4）x+k=0， 设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=， 22∴|P1P2|=x1+x2+p=， 2以﹣代入，可得|Q1Q2|=4+4k， ∴=． 点评： 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 14．已知抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，且抛物线上一点N（m，﹣2）到焦点的距离为6 （1）求此抛物线的方程；

（2）设抛物线方程的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于AB两点，且交准线l于点M，已知

=λ1

，=λ2

，

求λ1+λ2的值． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 2（1）由已知设抛物线的方程为：x=2py（p＜0），由N（m，﹣2）到准线的距离为6，可得：=6，解得p值后，可得抛物线的方程； （2）设直线l：y=kx﹣4，M点坐标为（，4），设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：x+16kx﹣64=0，再由根的判别式和韦达定理能求出λ1+λ2的值． 解答： 解：（1）∵抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，抛物线上一点N（m，﹣2）到焦点的距离为6， ∴可设抛物线的方程为：x=2py（p＜0）， ∴N（m，﹣2）到准线的距离为6， 即=6，解得：p=﹣8， 222∴抛物线的方程为：x=﹣16y， （2）由已知得直线l的斜率一定存在， 2由抛物线x=﹣16y的焦点F为（0，﹣4），准线方程为y=4， 所以可设l：y=kx﹣4，则M点坐标为（，4）， 设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）， 由?x+16kx﹣64=0 2∴x1+x2=﹣16k，x1?x2=﹣64， 又由 =λ1，=λ2， ∴（x1﹣，y1﹣4）=λ1（﹣x1，﹣4﹣y1）， ∴x1﹣=﹣λ1x1， ∴即λ1=同理λ2=， ， ∴λ1+λ2=+==0 点评： 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质，是解答的关键． 15．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F（2，0） （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．

2

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