圆锥曲线30道基础题(3)

则曲线Γ的方程为+=1和． （2）解：由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）． 设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．联立△=（48n）﹣4×64×（5+4n）＞0，化为n＞1． 设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=，222，化为（5+4n）y+48ny+64=0， 22． ∴|y3﹣y4|==， S△CDF1=令t=∴SCDF1=＞0，∴n=t+1， =22==， ，当且仅当t=，即n=时等号成立． ∴n=时，S△CDF1=取得最大值． ， （3）证明：曲线C2的渐近线为y=如图，设直线l：y=（x﹣m），，化为2x﹣2mx+（m﹣a）=0， 222△=4m﹣8（m﹣a）＞0， 解得． 又由数形结合知． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则x1+x2=m，x1x2=∴x0==，， 222=．∴即点M在直线y=﹣x上． 点评： 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

5．（2014?北京模拟）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过椭圆的离心率以及b，求出a，即可求解椭圆C的方程； （Ⅱ）利用弦长公式求出|AB|以及原点到直线的距离，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值． 解答： 解：（Ⅰ）因为已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的过点（0，1）， ∴b=1， 又∵椭圆的离心率等于∴b=c， ∴a=． ∴椭圆C的标准方程为： ， （Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2）， 将y=kx+1，代入得（+k）x+2kx=0， 当k≠0时，△＞0，且x1=0，x2=﹣， 22中， 所以|AB|=?， 原点到直线y=kx+1的距离d= S△AOB=|AB|?d=||=||≤= ∴S△AOB的最大值为． 点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系及三角形面积的运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力． 6．（2013?曲靖二模）已知椭圆C：（1）求椭圆C方程；

（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求

+=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（，﹣2）．

?的取值范围．

考点： 椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据焦距求出焦点坐标（0，﹣2），（0，2），根据椭圆的定义点（这样即可求出a，b，从而求出椭圆方程； ）到两焦点距离的和为2a，（2）当直线不存在斜率时求出E，F坐标，从而求出；当存在斜率时，设E（x1，y1），F（x2，y2），=，所设直线方程为y=kx+2，联立椭圆的方程利用韦达定理可求x1+x2，x1?x2，从而求得以﹣8解答： 解：（1）椭圆． 焦距是4，所以焦点坐标是（0，﹣2），（0，2）； ∴，所以； 即椭圆椭圆C的方程是； （2）不妨设l过椭圆的上焦点，若直线l垂直x轴，则点若直线l不垂直x轴，设l的方程为y=kx+2，设点E（x1，y1），F（x2，y2）； 22将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：（2+k）x+4kx﹣4=0； 则； ，； 所以因为所以：，所以的取值范围是[﹣8，2]． ； = 点评： 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦距、焦点的概念，椭圆的定义，直线的点斜式方程，以及韦达定理，向量数量积的坐标运算． 7．（2011?厦门模拟）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的长轴长为12，右顶点为A，F1，F2分别是椭圆E的左、

右焦点，且|AF1|=5|AF2|． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

22

（Ⅱ）圆C：（x﹣2）+y=4，点P是椭圆E上任意一点，线段CP交圆C于点Q，求线段PQ长度的最小值．

考点： 椭圆的简单性质；圆的标准方程；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）求出a，b即可得椭圆的标准方程； （2）点在椭圆上满足椭圆的方程，又|PQ|=|CP|﹣|CQ|，即可求得最小值． 解答： 解：（Ⅰ）由已知得，2a=12， ∴a=6， 又由|AF1|=5|AF2|，得a+c=5（a﹣c）， ∴c=22， 2∴b=a﹣c， ∴椭圆E的方程为：； （Ⅱ）由已知得，C（2，0），设P（x0，y0），则∴|PQ|=|CP|﹣|CQ|=∴当x0=时，|PQ|有最小值﹣2 ， =，（﹣6≤x0≤6）， ﹣2，|，（﹣6≤x0≤6）， 点评： 本题考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力和探究能力，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想． 8．（2006?天津）如图，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

、F2分别为左、右焦点，M为左准

线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程； （II）设A（m，0）和

．

（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线

于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

考点： 双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；压轴题．

分析： （I）设点M（x，y），根据题设条件联立方程求得M的坐标，根据222．求得a，b和c的关系利用a+b=c求得c，b和a，答案可得 （II）设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则可表示出直线l的方程，直线与双曲线联立方程，可求得x1x2的表达式，求得x2的表达式，同理可求得x3的表达式，最后得出以x2=x3，判断出故直线DE垂直于x轴． 解答： （I）解：根据题设条件，F1（﹣c，0），F2（c，0）． 设点M（x，y），则x、y满足 因故，解得， =． 利用a+b=c，得222，于是22． 因此，所求双曲线方程为x﹣4y=1． （II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为． 于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足22222222 2将①代入②得（x1﹣2x1m+m﹣4y1）x+8my1x﹣4y1m﹣x1+2mx1﹣m=0． 由已知，显然m﹣2x1m+1≠0．于是2． 因为x1≠0，得． 同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足 可解得． 所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴． 点评： 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．

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