圆锥曲线30道基础题(6)

（1）m的值；

（2）P、Q两点的坐标；

（3）△PF1F2的面积． 考点： 椭圆的简单性质；抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据已知条件可求出F2（1，0），所以有9﹣m=1，m=8； （2）解方程组即得P，Q的坐标； （3）由P点坐标可知△PF1F2的边F1F2的高，而|F1F2|=2，所以可求得△PF1F2的面积． 解答： 解：（1）由题意知，F2（1，0）； ∴9﹣m=1； ∴m=8； （2）解得，，或； ∴（3）|F1F2|=2； ∴． ； 点评： 考查抛物线的标准方程及焦点，椭圆的标准方程及焦点，以及两曲线方程形成方程组的解和两曲线交点的关系． 23．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 2（1）由题可知直线MN的方程为：y=x﹣，代入y=2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|=82

求得p的值，可得抛物线的方程． 2（2）设l方程为y=x+b，代入y=4x 化简，再利用判别式△=0，解得b的值，可得l的方程． 解答： 解：（1）由题可知F（，0），则该直线MN的方程为：y=x﹣， 代入y=2px，化简可得x﹣3px+22=0． 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1=x2=3p． ∵|MN|=8，∴有x1+x2+p=8，解得p=2， 2∴抛物线的方程为：y=4x． 222（2）设l方程为y=x+b，代入y=4x，可得x+（2b﹣4）x+b=0， 因为l为抛物线C的切线，∴△=0，解得b=1， ∴l的方程为：y=x+1． 点评： 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．

24．过抛物线C：y=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点． （1）若|AB|=4，求直线AB的方程；

（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）求出抛物线的方程，设出AB的直线方程，由弦长公式可求得m； （2）设P，Q两点的坐标，表示出以PQ为直径的圆，然后判断直线l是否过定点即可． 2解答： 解：（1）由题意可得：抛物线方程为y=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 2

设直线AB的方程是x=my+b，由由kAM+kBM=0，得y1+y2=8，则m=2， 由弦长公式因此直线AB的方程是x﹣2y+2=0 ，得y﹣4my﹣4b=0，2 ，得b=﹣2， （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由 即有 =0， ， 则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即化简，得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0， 过PQ的直线为==， ，恒过（8，4）点． 点评： 本题主要考查抛物线的定义、弦长公式，直线过定点等知识，属于基础题． 25．已知双曲线x﹣

2

=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据双曲线和椭圆的性质进行求椭圆的方程； （2）假设存在符合题意的直线，根据直线PA、PB的倾斜角互为补角得出斜率之间的关系，进而求解． 解答： 解：（Ⅰ）在双曲线x﹣∴a2=1中，a=1，b=2，c=，…（2分） ，c′=a=1，b′=2 …（3分） …（4分） 所以，椭圆C的方程是

（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零． 不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0…（5分） 2222由消去y得（3k+2）x﹣6kx+3k﹣6=0 …（6分） 设A（x1，y1）则，…（8分） ∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，…（9分） 即=0对一切k恒成立 …（10分） 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）， 代入上式可得2x1x2+2m﹣（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分） ∴2×+2m﹣（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分） 即=0，4m﹣12=0， ∴m=3，…（13分） ∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分） 点评： 本题主要考查双曲线、椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系． 26．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知

抛物线与椭圆的一个交点为

（1）求抛物线的方程和椭圆C的方程；

．

（2）若双曲线与椭圆C共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 2分析： （1）由题意可设出抛物线的标准方程为y=﹣2px（p＞0），代入点的坐标，即可解得p，得到抛物线方程，得到准线方程，即有椭圆的焦点坐标，再由a，b，c的关系和点满足椭圆方程，解得a，b，即可得到椭圆方程； （2）由题意得到双曲线的c=1，设出双曲线方程，求出渐近线方程，得到a1，b1的方程组，解得即可． 解答： 解：（1）由题意可知抛物线开口向左， 2故设抛物线的标准方程为y=﹣2px（p＞0）， ∵∴∴抛物线的方程为y=﹣4x； 故准线方程为x=1，

2， ，∴p=2，

∴椭圆C的右焦点坐标为（1，0），∴c=1， 由于点（﹣，）也在椭圆上， 则解得，． ∴； （2）因为双曲线与椭圆C共焦点， 所以双曲线的焦点也在x轴上，且c=1， 则设双曲线的方程为， 由题意可知：， 解得， ∴． 点评： 本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线和抛物线的准线方程和运用，考查运算能力，属于基础题． 27．已知椭圆C1：

+

=1，其左准线为l1，右准线为l2，抛物线C2以坐标原点O为顶点，l2为准线，C2交l1

于A，B两点．

（1）求抛物线C2的标准方程； （2）求线段AB的长度． 考点： 椭圆的简单性质；抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设抛物线C2的标准方程为y=﹣2px（P＞0）．由椭圆C1：线为l2：x=4．因此，解得p即可得出抛物线C2的标准方程． 2+=1，其左准线为l1：x=﹣4，右准（2）联立，解出即可得出线段|AB|的长度． 2解答： 解：（1）设抛物线C2的标准方程为y=﹣2px（P＞0）．

由椭圆C1：+=1，可得：a=4，b=3，22=1， ∴其左准线为l1：x=﹣4，右准线为l2：x=4． ∴，解得p=8． 2∴抛物线C2的标准方程为y=﹣16x． （2）联立，解得，． ∴线段|AB|=16． 点评： 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，属于基础题． 28．P是椭圆（1）若∠F1PF2=

=1上一点，F1，F2是焦点． ，求△F1PF2的面积和P点坐标；

（2）求|PF1||PF1|的最大值． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据椭圆的定义和余弦定理，求出△F1PF2的面积， 设出P（x，y），利用直线PF1到直线PF2的角的公式，得出方程③，把③代入椭圆方程，求出点P的坐标； （2）根据椭圆的定义与几何性质，得出|PF1||PF1|的最大值． 解答： 解：（1）∵椭圆+=1，所以a=10，b=8；∴c=6， ， 设|PF1|=t1，|PF2|=t2，由椭圆的定义以及∠F1PF2=∴t1+t2=20 ① t1+t2﹣2t1t2cos由①﹣②得2t1t2+∴t1t2= =64（2﹣）； =， ）， 222=12②， t1t2=256， 2 ∴S△F1PF2=t1t2=×∴△F1PF2的面积为64（2﹣设P（x，y），则直线PF1的斜率是直线PF2的斜率是又∵∠F1PF2=， =， ∴=tan，

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