（1988-2012word打印版）考研数学一历年真题(8)

(4)设矩阵 ??a1b1c1??a2b2c?2??a3b? 3c3??是满秩的,则直线x?a3y?3a?a?12?b?b?z3与c直线1b2?c1c2x?a1y?b1z?c1a?? 2?a3b2?b3c2?c3(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合

(D)异面 (5)

设

A,B是

两个

随

机

事

件

,

且

0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有

(A)P(A|B)?P(A|B)

(B)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)

(D)P(AB)?P(A)P(B)

三、(本题满分5分)

求直线l:x?11?y1?z?1?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

四、(本题满分6分)

确定常数?,使在右半平面x?0上的向量

A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的

梯度,并求u(x,y).

五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力

作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).

六、(本题满分7分)

计算??axdydz?(z?a)2dxdy,其中?为下半?(x2?y2?z)212平面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数.

七、(本题满分6分)

?sin?sin2??

求lim?nx????n??sin??.?n?1?n?12n?1?

n??八、（本题满分5分）

?设正向数列{ann}单调减少,且

?(?1)an发散,试问级数

n?1??(1nn?1a?1)是否收敛?并说明理由. n 九、（本题满分6分）

设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩

形面积,等于在区间[x0,1]上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积.

(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)??2f(x)x,证明(1)中的x0是唯一的.

十、（本题满分6分）

已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经

?过正交变换?x??y???P?????化为椭圆柱面方程?2?4??z?2?4,求a,b的

??????????值和正交矩阵P.

十一、（本题满分4分）

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向

量α,且Ak?1α?0.

证明:向量组α,Aα,,Ak?1α是线性无关的.

十二、（本题满分5分） a11x1?a12x2??a1,2nx2n?0已知方程组(Ⅰ) a21x1?a22x2??a2,2nx2n?0

an1x1?an2x2??an,2nx2n?0

的一个基础解析为

(b11,b12,,bT1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n),,(bn1,bn2,,bTn,2n).

b11y1?b12y2??b1,2ny2n?0试写出线性方程组(Ⅱ) b21y1?b22y2??b2,2ny2n?0

bn1y1?bn2y2??bn,2ny2n?0

的通解,并说明理由.

十三、（本题满分6分）

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X?Y的方差.

十四、（本题满分4分）

从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?

附:标准正态分布表

2?(x)??z1??2?e?t2dt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ?(x) 0.900 0.950 0.975 0.990

十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.

附:t分布表

P{t(n)?tp(n)}?p

0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1) lim(11x?0x2?xtanx)=_____________. (2)

dx2dx?0sin(x?t)dt=_____________. (3)y???4y?e2x的通解为y=_____________. (4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是

_____________.

(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12, 且已知P(ABC)?916,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数

(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数

(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数

?(2)设f(x)??1?cosx?x x?0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在??x2g(x) x?0x?0处

(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续

(C)连续,但不可导

(D)可导

(3)设

?x 0?x?1f(x)???,

??2?2x 12?x?1a2??S(x)?0?ancosn?x,???x???,

n?1其中a1n?2?0f(x)cosn?xdx (n?0,1,2,),则S(?52)等于 (A)12 (B)?12

(C)34 (D)?34

(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则

(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布

N(0,1)和N(1,1),则

(A)P{X?Y?0}?12

(B)P{X?Y?1}?12

(C)P{X?Y?0}?12

(D)P{X?Y?1}?12

三、(本题满分6分)

设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

dzdx. 四、(本题满分5分)

求I??L(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为

正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的

弧.

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