（1988-2012word打印版）考研数学一历年真题(6)

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有

?(t,21xydx)dy)??t(0,0)?Qx(y,xydx(12,?)0,0Q)xydy(求,Q)(x,y,).

( 七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且

g??(x)?0,f(a?)f?(b)g?(a)g?(b试证):

(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.

(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使f(?)g(?)?f??(?)g??(?). 八、（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1,对应于?1?的特征向量为ξ?0??1??1,求A??.

?1?? 九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转

置矩阵),A?0,求A?I.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,

则X2的数学期望E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且

P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,

则P{max(X,Y)?0}?____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为

fx)? e?xx?X(0 0x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.

(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________.

(3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点

B(3,?2,2方向的方向导数为)_____________. ?102?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B???020?,则

??103????r(AB)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知

(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于 (A)-1 (B) 0 (C) 1

(D) 2

(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

?(3)设an?0(n?1,2,),且?an收敛,常数??(0,?),则级数

n?12??(?1)n(ntan?)a2n n?1n(A)绝对收敛

(B)条件收敛

(C)发散

(D)散敛性与?有关 (4)

设

有

f(x)连

续

的

导

数

,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时

,F?(x)与xk是同阶无穷小,则k等于

(A) 1

(B) 2 (C) 3

(D)4

a100b1(5)四阶行列式

0a2b200a3b30的值等于 b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4

(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4

(C)(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4) (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.

(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,),试证数列{xn}极限存

在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面

Sz?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.

2

u?x?2y?z?2z?2(2)设变换 zv?x?ay可把方程6?x2??x?y??y2?0简化为

?2z?u?v?0,求常数a.

五、(本题满分7分) 求级数??1的和. n?1(n2?1)2n

六、(本题满分7分)

设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上

的截距等于1x?x0f(t)dt,求f(x)的一般表达式.

七、（本题满分8分）

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件

f(x)?a,??f(?x)其中ba,,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明f?(c)?2a?b2. 八、（本题满分6分）

设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT

是ξ的转置.证明

(1)A2?A的充分条件是ξTξ?1.

(2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.

九、（本题满分8分） 已知

二次

型

f(1?x2,2?x,23x)?的秩为212, 5x?2(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望E(???)=____________.

十一、（本题满分6分）

设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?1,i?1,2,3. 3又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).

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