?(5)要使ξ?1?????0??1?1??0?,ξ2?都是线性方程组AX?0的解,只要
??2?????1??系数矩阵A为
(A)??212?
(B)??20?1??011?? (C)???102??01?1??
?01?1
(D)???4?2?2?
??011???
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.
(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求
?2z?x?y. (3)设f(x)? 1?x2e?x x?0x?0,求?31f(x?2)dx.
四、(本题满分6分)
求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
五、(本题满分8分) 计算
曲面积分
??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半
?球面z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分） 设
f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）
在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到
x2y2z2椭球面a2?b2?c2?1上第一卦限的点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1??1??ξ??ξ?????1??1??1?,2??2?,ξ3??3?,又向量β??2?.
??1????4????9????3??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知
P(A)?P(B)?P(C)?114,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?6,则事
件A、B、C全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望
E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从
[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用
t2标准正态分布函数?表示,其中?(x)?122??x??e?dt).
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)函数F(x)??x1(2?1td)t(x?的0单)调减少区间为
_____________.
(2)由曲线 3x2?2y2?12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点
z?0(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为
a?02??(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的值为_____________. n?1(4)
设
数
量
场
u?lnx2?y2?z2,则
div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小
(B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表
示为
??(A)2?40cos2?d? (B)4?40cos2?d?
?(C)2?4cos2?d?
(D)1?202?40(cos2?)d?
(3)设有直线lx?11:1?y?5?2?z?81与lx?y?62: 2y?z?3则l1与
l2的夹角为
(A)?6
(B)?4
(C)?3
(D)?2
(4)设曲线积分
?xL[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,
其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)等于
e?x?ex(A)2
ex?e?x(B)2
(C)
ex?e?x2?1
ex?e?x (D)1?2
?12(5)已知Q??3??24t???,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则
?369??(A)t?6时P的秩必为1
(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1
(D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sin2x??x?cos1x)x. x
(2)求
?xeex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.
四、(本题满分6分) 计算
??2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面?z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
?(?1)n求级数?(n2?n?1)n?02n的和.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0??,上函数
f(x)有连续导数,且
f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba.
七、（本题满分8分）
222已知二次型f(x,x,x)?2x?3x?3x?2axx(a?0)通过(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.
212312323正交变换化成标准形f?y2y221?22?5y3,求参数a及所用的正交变
换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩
阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向
A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?12e?x,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
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