（1988-2012word打印版）考研数学一历年真题(3)

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,

2ke?2,k?0,1,2,即P{X?k}?k!期望E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分）

,则随机变量Z?3X?2的数学

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差

D(Z).

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

设 x?1?t2y?cost,则d2(1)ydx2=_____________.

(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.

(3)

已

知

两

条

直

线

的

方

程

是

lx?11?y?20?z?3?1;lx?2y?1z1:2:2?1?1.则过l1且平行于l2的

平面方程是_____________.

1(4)已知当x?0时,(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.

??5200?(5)设4阶方阵A??2100???001?2??,则A的逆阵?0011??A?1=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

x2(1)曲线y?1?e?1?e?x2

(A)没有渐近线

(B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2?0f(t2)dt?ln2,则f(x)等于

(A)exln2

(B)e2xln2

(C)ex?ln2

(D)e2x?ln2

???(3)已知级数?(?1)n?1an?2,1?5,则级数n?1?a2n??an等于

n?1n?1(A) 3

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则

??(xy?cosxsiny)dxdy等于

D(A)2??cosxsinydxdy

D1

(B)2??xydxdy

D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy

D1(D) 0

(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有

(A)ACB?E (B)CBA?E

(C)BAC?E

(D)BCA?E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

? (1)求2xlim?0?(cosx).

(2)设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的

,求函数u?6x2?8y2法向量z在点P处沿方向n的方向导数.

(3)

???(x2?y2?z)dv,其中?是由曲线

y2?2z绕?x?0z轴旋转一

周而成的曲面与平面z?4所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲

线L,使沿该曲线O从到A的积分

?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.

五、(本题满分8分)

将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级

数,并由此求级数

??1的和. n?1n2 六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?12f(x)dx?f(0),3证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.

七、（本题满分8分） 已

知

α1?(α?α??a?α?a?1及β?(1,1,b?3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?

(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出

该表示式.

八、（本题满分6分）

设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1. 九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率

等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),

且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且

P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________. ,(2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?4的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

(x?2y)f(x,y)? 2e? x?0,y?00 其它

求随机变量Z?X?2Y的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设函数y?y(x)由方程ex?y?coxys(?)确定,则

dydx=_____________.

(2)函数u?ln(x2?y2?z2在)点M(1,?2,处2的梯度graudM=_____________.

(3)设f(x)? ?1???x?01?x2 0?x??,则其以2?为周期的傅里叶级

数在点x??处收敛于_____________.

(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.

??a1b1a1b2a1bn?(5)设

A??a2b1a2b1a2b?n????,其中

?anb1anb2a?nbn?ai?0bi?,i?0n则矩阵,A的秩r(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

x2?11(1)当x?1时,函数

x?1ex?1的极限 (A)等于2 (B)等于0

(C)为?

(D)不存在但不为?

??(2)级数

(?1)n(1?cosan?1n)(常数a?0) (A)发散

(B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与a有关

(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面

x?2y?z?4平行的切线

(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条

(D)不存在

(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为

(A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) 3

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