（1988-2012word打印版）考研数学一历年真题(2)

(4)

设函数

f(x)?x2,0?x?1,而

?S(x)??bnsinn?x,???x???,其中

n?1b1n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,,则S(?12)等于

(A)?12 (B)?14

(C)

14

(D)12

(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求

?2z?x?y.

(2)设曲线积分

?cxy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连

续的导数,且?(0)?0,计算

?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy的值.

(3)计算三重积分

???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与

?z?1?x2?y2所围成的区域.

四、(本题满分6分) 将函数f(x)?arctan1?x1?x展为x的幂级数.

五、(本题满分7分)

设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

六、（本题满分7分）

证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有

两个不同实根.

七、（本题满分6分）

问?为何值时,线性方程组

x1?x3??

4x1?x2?2x3???2

6x1?x2?4x3?2??3

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)

1?1?为A的特征值.

(2)

A*?为A的伴随矩阵A的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中

横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AB的概率P(AB)=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为

2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量

Z?2X?Y?3的概率密度函数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x??t?2

(1)过点M(1,2?1)且与直线

y?3t?4垂直的平面方程是

_____________ z?t?1

(2)设a为非零常数,则lim(x?ax??x?a)x=_____________.

(3)设函数f(x)? 10 x?1x?1,则f[f(x)]=_____________.

(4)积分?20dx?2e?y2xdy的值等于_____________.

(5)

已知向量组

α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的

四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

?x(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??e则xf(t)dt,F?(x)等于

(A)?e?xf(e?x)?f(x)

(B)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?xf(e?x)?f(x)

(D)e?xf(e?x)?f(x)

(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为

大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是

(A)n![f(x)]n?1

(B)n[f(x)]n?1

(C)[f(x)]2n

(D)n![f(x)]2n

?(3)设a为常数,则级数?[sin(na)1n?1n2?n] (A)绝对收敛

(B)条件收敛 (C)发散

(D)收敛性与a的取值有关

(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且

f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x)

(A)不可导

(B)可导,且f?(0)?0 (C)取得极大值

(D)取得极小值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、

α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,

则方程组AX?b的通解(一般解)必是

(A)kβ1?β21α1?k2(α1?α2)?2

(B)kβ?β21α1?k2(α1?α12)?2 (C)kαβ1?β211?k2(β1?β2)?2

(D)k?ββ?β21α1?k2(β12)?12

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

?1ln(1?x)0(2?x)2dx.

(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,

求?2z?x?y. (3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分) ?求幂级数

?(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.

n?0

五、(本题满分8分) 求曲面积分I???yzdzdx?2dxdy

S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间

(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

??1?100??2134?B??01?10?213????0?001?1?,C???0021?? ?0001????0002??且矩阵A满足关系式

A(E?C?1B)?C??E

其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、（本题满分8分） 求一个正交

变换化二次型

f?x2?4x2212?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆

周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹

角小于?2.求变力F对质点P所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)?1?2ex,???x??? 则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,

若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率

P(AB)=____________.

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