安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷 文(含解析)(5)

【点评】本题考查了线面垂直的判定，三棱锥体积的计算，解答的关键是正确运用线面垂直的判定．

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆相交于P、Q两点，求△F1PQ面积的最小值．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的短轴长为2此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1，代入

，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦

，且离心率e=，列出方程组，求出a=2，b=1，由

达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F1PQ面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

21

∴，解得a=2，b=1，

∴椭圆C的方程是．

（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1， 代入

，得（3t+4）y+6ty﹣9=0，

2

2

∴，，

设P（x1，y1）＜Q（x2，y2）， 则

=

=|y1﹣y2|=12?

，

令u=∈[1，+∞），

则，

∵y=3在[1，+∞）上是增函数，

）min=3．

∴当μ=1，即t=0时，（∴△F1PQ面积的最小值是3．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性的合理运用．

21．已知函数f（x）=（ax+x﹣1）e，其中e是自然对数的底数，a∈R． （Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数g（x）=x3+x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．

【专题】计算题；导数的综合应用．

22

2

x

【分析】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到； （Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x+x﹣1）e， ∴f′（x）=（2x+1）e+（x+x﹣1）e=（x+3x）e．

∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=4e， ∵f（1）=e，

∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1）， 即4ex﹣y﹣3e=0．

（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2+m） 则h′（x）=（﹣2x+1）ex+（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x2+x） =﹣（e+1）（x+x）

令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．

∴h（x）在x=﹣1处取得极小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0处取得极大值h（0）=﹣1﹣m，

∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点， ∴

即

，

x

2

x

2

x

2

x

2

x

解得：﹣﹣＜m＜﹣1．

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．

四、选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲

22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点． （1）求BD长；

（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

23

【考点】相似三角形的判定． 【专题】推理和证明．

【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可． （2）通过三角形的两角和，求解角即可．

【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴∵OC=OD=6，AC=4，∴

，∴BD=9．?

，

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO ?

【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．

23．极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C1的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0，曲线C1的参数方程为（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C2与C1有两个不同的公共点，求m的取值范围． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【专题】计算题；方程思想；参数法；坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）由题意知ρ﹣2ρcosθ=0，从而求得x+y﹣2x=0，消参可得2x﹣y﹣2m﹣1=0；

（Ⅱ）由直线与圆的位置关系判断求m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由ρ﹣2cosθ=0得C1：ρ2﹣2ρcosθ=0， 故x2+y2﹣2x=0，

消去参数得C2：2x﹣y﹣2m﹣1=0；

24

2

2

2

（t是参数，m是常数）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C1是圆，C2是直线； x2+y2﹣2x=0可化为（x﹣1）2+y2=1， 由题意知圆心到直线的距离小于圆的半径， 故d=解得，

＜1， ＜m＜

．

【点评】本题考查了极坐标方程与参数方程的应用，同时考查了参数法的应用．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证ab＞ab． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法． 【专题】证明题；函数的性质及应用；不等式．

【分析】（1）根据绝对值三角不等式得|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，求得最小值；

（2）运用指数函数的性质，不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，则立．

【解答】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10， 即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，

＞1恒成

ab

ba

则＞1恒成立，即＞1，

所以，aa﹣b＞ba﹣b，

25

将该不等式两边同时乘以ab得， aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

bb

26

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