安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷 文(含解析)(4)

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P﹣ABCD的外接球半径R的取值范围是 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；球．

【分析】画出图形，设P﹣ABCD的外接球的球心为G，说明GP=GA=R，设O1P=x，O1G=y，求出OG=1﹣y，推出R=x+y，然后推出R与y的函数关系，利用二次函数的值域求出R的范围即可．

2

2

2

．

【解答】解：如图，设P﹣ABCD的外接球的球心为G，

∵A，B，C，D在球面上，∴球心在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上下底面中心连线O1O上，点P也在球上， ∴GP=GA=R ∵棱长为1，∴

，设O1P=x，O1G=y，

则OG=1﹣y，在Rt△GO1P中，有R2=x2+y2?①， 在Rt△GOA中，∵

，∴

，∴

．

?②，将①代入②，得

，

，

于是R的最小值为．R的取值范围是：故答案为：

．

【点评】本题考查球与几何体的关系，二次函数的最值的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用．

16

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知公比不等于1的等比数列{an}，满足：a3=3，S3=9，其中Sn为数列{an}的前n项和． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，若cn=

，求数列{cn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；方程思想；待定系数法；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而得方程3（1++

）=9，从而解得；

（Ⅱ）化简a2n+3=3?，从而可得cn===﹣，从而求和．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 则有3（1++

）=9，

解得，q=1（舍去）或q=﹣， 故an=3?（﹣）n﹣3； （Ⅱ）a2n+3=3?故bn=log2故cn=

， =2n， =

=﹣

，

故Tn=1﹣+﹣+?+﹣=1﹣

=

．

【点评】本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

18．在某学校进行的一次语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下： （Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；

（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；

17

语文成绩的频数分布表：

语文成绩分[50，60） [60，70） [70，80） [90，100） [100，110） [110，120] 组 频数 （Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为xi，yi（i=1，2，?，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到： =

xi=86， =

yi=64，

（xi﹣）（yi﹣）=4698，

（xi﹣）=5524，

2

≈0.85．

①求y关于x的线性回归方程；

②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分） 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

==， =﹣．

【考点】线性回归方程．

【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计即可；

（Ⅱ）根据数据完成语文成绩的频数分布表，填写语文成绩的频率分布直方图； （Ⅲ）由已知计算

、

，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=100时

的值即可．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；

18

（Ⅱ）根据数据完成语文成绩的频数分布表，如下；

语文成绩[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120] 分组 频数 1 2 3 7 6 5 1 填写语文成绩的频率分布直方图，如图所示：

（Ⅲ）由已知得=0.85， =64﹣0.85×86=﹣9.1，

=0.85x﹣9.1；

所以y关于x的线性回归方程为且当x=100时，得

=0.85×100﹣9.1=75.9≈76，

即当考生的语文成绩为100时，历史成绩为76分．

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题目．

19

19．如图，已知 AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4． （I）求证：AC⊥平面BCE； （II）求三棱锥E﹣BCF的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】综合题；空间位置关系与距离．

【分析】（I）过C作CM⊥AB，垂足为M，利用勾股定理证明AC⊥BC，利用EB⊥平面ABCD，证明AC⊥EB，即可证明AC⊥平面BCE；

（II）证明CM⊥平面ABEF，利用VE﹣BCF=VC﹣BEF，即可求三棱锥E﹣BCF的体积． 【解答】（I）证明：过C作CM⊥AB，垂足为M， ∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形， ∴AM=MB=2， ∵AD=2，AB=4， ∴AC=2

，CM=2，BC=2

∴AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC， ∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE， ∴EB⊥平面ABCD，

∵AC?平面ABCD，∴AC⊥EB， ∵EB∩BC=B， ∴AC⊥平面BCE；

（II）解：∵AF⊥平面ABCD， ∴AF⊥CM，

∴CM⊥AB，AB∩AF=A， ∴CM⊥平面ABEF， ∴VE﹣BCF=VC﹣BEF=

=

=．

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