力学总复习(5)

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2.16、一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时，弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f ＝f0，求ω与f的函数关系．

解：设弹簧原长为l，劲度系数为k，由于是弹性力提供了质点作圆周运动的向心力，故有m r?2＝ k ( r – l) 其中r为滑块作圆周运动的半径，m为滑块的质量．由题设，有

2 r ＝f l 有 mfl?2?kl(f?1)， 又由已知条件，有 mf0l?0?kl(f0?1) 整理后得ω与f的函数关系为 ：

f?2f0?02?f?1。 f0?12.17、一悬线长l = 1 m，上端固定在O点，下端挂一小球，如图所示．当小球

?在最低位置A时，给以水平方向的初速度v0，当悬线与OA成 120°角时小球脱

?离圆周，求v0的大小．如果要小球不脱离圆周，则v 0至少为多大？

解：(1) 小球运动过程中只有重力作功，故小球与地球系统机械能守恒，可

1122列方程： mv0?mvB?mgl(1?cos60?) ?? ① 2分

222/l ?? ② 2分 TB?mgcos60??mvB小球在B点脱离圆周的条件为 TB = 0，由②式得：

2?glcos60? ?? ③ 2分 vB?C?解①、③式得： T C? T B B?mgv0?gl(2?3cos60?)?5.86 m/s 1分 mgO120 (2) 设C点为圆周最高点，可列方程： l °?E =0pv11220 mv0?mvC?mg(2l) ?? ④ 1分 A 222/l ?? ⑤ TC?mg?mvC2小球能越过C点的条件是 TC≥0，代入⑤式有： vC≥gl ?? ⑥

2.18、如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A点由静止

开始下滑，圆弧半径为R，则小球在A点处的切向加速度 A R A at =_________g_____________，小球在B点处的法向加速度 an=__________2g____________。 B解：∵将质量为m的物体A抽象为质点P，作受力分析图，在A

v2点，mg = m at， g = a t 小球在B点处的法向加速度：man =m

R1 ∵机械能守恒：mV2?Rmg,V2?2Rg；∴ an =2g 。

22.19、在以加速度a向上运动的电梯内，挂着一根劲度系数为k、质量不计的弹簧．弹簧下面挂着一质量为M的物体，物体相对于电梯的速度为零．当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到物体的最大速度为 (A) aM/k． (B) ak/M．

(C) 2aM/k． (D) 1aM/k．

2 22

解：选电梯为非惯性参考系Sˊ，物体相对于电梯的速度为零，即是Vˊ=0， aˊ=0 -ma（非惯性力）+mg（弹簧下面挂着一质量为M的物体）=0，a=g，弹簧所受合力为零，弹簧自然伸长；当电梯的加速度突然变为零后（a=0，V电≠0），电梯为惯性参考系S，弹簧受重力和电梯的作用，弹簧被拉伸X；mg=kx ??（1）

11机械能守恒：MV2?kx2 ??（2）联立（1）、a=g和（2）式，

22解得：V=aM/k ［ A ］

2.20、站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电

梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态．由此，他断定电梯作加速运动，其加速度为

(A) 大小为g，方向向上． (B) 大小为g，方向向下．

11(C) 大小为g，方向向上． (D) 大小为g，方向向下． ［ B ］

22解：选电梯为非惯性参考系Sˊ，物体相对于电梯的速度为零，Vˊ=0，

则有 m a + mg=maˊ=0，a = - g；所以(B) 大小为g，方向向下，为正确答案。 l 2.21、一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，

M h 如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，?? 肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，问绳

长l为多长时最省力?

解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则sin??h/l． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F, 有 F cosθ－f ＝0 2分 ? F sinθ＋N－Mg＝0 f＝μN

?N ?Mg?得 F? 2分

?F cos???sin??dF?Mg(?sin???cos?)?????0 f 令 2d?(cos???sin?)∴ tg????0.6，??30?57?36?? 2分

??2P?Mg dF 且 2?0，∴ l＝h / sinθ＝2.92 m时，最省力． 2分

d?2.22、如图，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体A的质量m1大于物体B的质量m2．在A、B运动过程中弹簧秤S的读数是

S(A) (m1?m2)g. (B) (m1?m2)g.

2m1m24m1m2g. (D) g. ［ D ］ (C)

m1?m2m1?m2解：弹簧秤F = T1 + T2 = 2T ??（1）[T1 = T2 = T] Bm2A对m1：T1 - m1 g = m1a1 ??（2）

m1 对m2：T2 –m2 g = - m2a2 ??（3）[a1 = a2 = a] 联立（1）、（2）和（3）得（D）。

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2.23、有两个弹簧，质量忽略不计，原长都是10 cm，第一个弹簧上端固定，下挂一个质量为m的物体后，长11 cm，而第二个弹簧上端固定，下挂一质量为m的物体后，长13 cm，现将两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为m的物体，则两弹簧的总长为___24cm_________．

解：∵F = - K X，K1 X1 = mg X1，K2 X2 = mg，∴K1 = mg，K2 = mg/ X2 =mg/3； 两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为m的物体，两弹簧的总长为： 原长是20 cm，加上挂一质量为m的物体后，两弹簧的伸长量ΔS，∵ΔS K = mg 1/K = 1/K1 + 1/K2 ，∴ΔS = mg/k = mg（1/K1 + 1/K2）= mg（1+3）/mg=4m 故两弹簧的总长为24cm。

2.24、设物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑， 在下滑过程中，

(A)它的加速度方向永远指向圆心． θ (B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加． mg (C)它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心

(D)它受到的合外力大小不变． [ B ] 解：物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，它受到的轨道的作用力的大小随θ不断增加，θ= 90o时最大为mg，方向不断变化。 ∴(B)它受到的轨道的作用力的大小不断增加，为正确答案。

2.25、公路的转弯处是一半径为 200 m的圆形弧线，其内外坡度是按车速60 km/h设计的，此时轮胎不受路面左右方向的力．雪后公路上结冰，若汽车以40 km/h的速度行驶，问车胎与路面间的摩擦系数至少多大，才能保证汽车在转弯时不至滑出公路？

解：(1)先计算公路路面倾角? . N设计时轮胎不受路面左右方向的力，

而法向力应在水平方向上．因而有 R Nsin??mv12/R

mg?v12 Ncos??mg ∴ tg??

Rg(2)当有横向运动趋势时，轮胎与地面间有摩擦力，最大值为?N′(N′为该

2/R 时刻地面对车的支持力) N?sin???N?cos??mv2 N?cos???N?sin??mg

2Rgsin??v2cos?∴ ??2

v2sin??Rgcos?2v12?v2v12?0.078 将tg??代入得 ??22Rgv2v1?/?Rgv0 θ Rga 2.26、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速

行驶，其加速度为a，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛

v0

球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角??应为多大？

??解：设抛出时刻车的速度为v0，球的相对于车的速度为v0/，与竖直方向成? 24

12at ??① 1分 2/sin??t ?? ② 1分 球的位移 ?x2??v0?v01/ ?y2?v0co?st?gt2 ?? ③ 1分

2小孩接住球的条件 ?x1??x2 , ?y2?0 1分

11//即 ? at2?v0sin?t ， gt2?v0cos?t

22角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移：?x1?v0t???????两式相比得 a/g?tg? ，∴ ??tg?1?a/g? 1分 2.27、一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上装有一个

小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时，弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f ＝f0，求ω与f的函数关系．

解：设弹簧原长为l，劲度系数为k，由于是弹性力提供了质点作圆周运动的向心力，故有 m r?2＝ k ( r – l) 2分

其中r为滑块作圆周运动的半径，m为滑块的质量．由题设，有 r ＝f l 1分

2因而有 mfl?2?kl(f?1) 又由已知条件，有 mf0l?0?kl(f0?1) 1分 整理后得ω与f的函数关系为：

f?2f0?02?f?1 f0?1CB2.28、A、B、C为质量都是M的三个物体，B、C放在光滑水平桌面上，两者间连有一段长为0.4 m的细绳，原先松

A放着．B、C靠在一起，B的另一侧用一跨过桌边定滑轮的细绳与A相连（如图）．滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦

不计，绳子不可伸长．问： (1) A、B起动后，经多长时间C也开始运动？ (2)C开始运动时速度的大小是多少?(取g＝10 m/s2)

解：(1) 设A，B间绳中张力为T，分别对A、B列动力学方程 MA g –T =MA a

1 T =MB a 解得： a =Mg / (MA+MB) 由 MA = MB = M a＝g

2 设B、C之间绳长为l，在时间t内B物体作匀加速运动，有

1 l＝at2＝gt2/4 ， t=4l/g=0.4 s

2(3) B和C之间绳子刚拉紧时，A和B所达到的速度为

11 v＝at＝gt＝×10×0.4＝2.0 m/s。

22令B、C间拉紧后，C开始运动时A、B、C三者的速度大小均变为V，由 量定理(设三者速度变化过程中TAB为AB间绳中平均张力，TBC为BC间绳中平均张力,τ为过程时间) MAV ??MAv = –TAB·τ (∵MAg<

(MA?MB)v2?v?1.33 m/s V =

MA?MB?MC3 25

2.29、如图所示，质量M = 2.0 kg的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置，弹簧伸长x0 = 0.10 m，今有m = 2.0 kg的油灰由距离笼底高h = 0.30 m处自由落到笼底上，求笼子向下移动的最大距离．

h解：k?Mg/x0 2分，油灰与笼底碰前的速度 v?2gh 碰撞后油灰与笼共同运动的速度为V，应用动量守恒定律： mv?(m?M)V ① 油灰与笼一起向下运动，机械能守恒，下移最大距离?x，则

1112k(x0??x)2?(M?m)V2?kx0?(M?m)g?x ② 2222m2x02m2hx0mx0???0.3 m 联立解得： ?x?2MM(M?m)M2.30、如图所示，质点作曲线运动，质点的加速度

?????M3a是恒矢量(a1?a2?a3?a).试问质点是否能作匀变M2速率运动? 简述理由．

M1答：不作匀变速率运动．因为质点若作匀变速率运?a2????动，其切向加速度大小at必为常数，即at1?at2?at3，?a1????现在虽然a1?a2?a3, 但加速度与轨道各处的切线间a?a3?a

夹角不同，这使得加速度在各处切线方向的投影并不相等，即at1?at2?at3，故该质点不作匀变速率运动.

2.31、绳子通过两个定滑轮，右端挂质量为m的

1小球，左端挂有两个质量m1=m的小球.将右边小球

2约束,使之不动. 使左边两小球绕竖直轴对称匀速地旋转, 如图所示.则去掉约束时, 右边小球将向上运??m11动, 向下运动或保持不动?说明理由. mm22 答：右边小球不动．

理由：右边小球受约束不动时，在左边对任一小球有 T1co?s?m1g?0， 式中T1为斜悬绳中张力，这时

左边绳竖直段中张力为T?2T1cos??2m1g?mg 故当去掉右边小球的外界约束时，右边小球所受合力仍为零，且原来静止，故不会运动。

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