力学总复习

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力学总复习——《新世纪物理学》吴大江主编

第一章 质点运动学 一、要求

1、掌握：矢量、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变

化的物理量；

2、能借助于直角坐标系计算质点在平面运动时的速度、加速度； 3、能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向和法向加速度。

二、内容提要

1、参考系：描述一个物体的运动，选择一个或几个相对静止的物体为比较的基准，这些物体群，称为参考系。

2、运动（函数）方程：表示运动中的质点的位置随时间变化的函数。质点的位置用位矢r表示，运动（函数）方程为：r= r（t）；直角坐标表示：

r(t)?xi?yj?zk 其中，i、j 和k 分别为沿X、Y和Z轴的单位矢量，上式也表示其沿三个方向运动的合成；

其大小为 —— |r|= √（x2+ y2+ z2）；

方向余弦为—— cosα = x/|r|、cosβ = x/|r|、cosγ = x/|r|。 质点在时间间隔t到t + Δt的位置矢量为：r(t??t) 3、坐标矢量：

Z r(t)?xi?yj?zk

?t Q 4、?S b 位移矢量：

P t ?r ?r?r(t??t)?r(t)

a Q′ ?r 5、平均速度：位移Δr与 r(t) r(t??t) 发生这段位移所经历的时 间Δt的比值，用V表示。 O X

图中矢量OP为r(t)，OQ为r(t??t)， v = ?rr(t??t)?r(?t?t)?t ??（1.3-1）

Y

PQ为?r，而Q′Q=?r?|?r| 6、瞬间速度：V?lim?r?t?0?t?drdt??（1.3-2） 2

7、速度的直角坐标法：r?xi?yj?zk ??（1.2-1）

V?drdxdydz?i?j?k = Vxi?Vyj?Vzk ??（1.3-3） dtdtdtdtV = |V|=Vx2?Vy2?Vz2 ??（1.3-4）速度的大小常称为速率。 8、速度的自然坐标法 V?速率 V=

ds，式中?方向矢量 ???（1.3-5）

dtdS??（1.3-6） dt9、平均速率； 路程与经历这段路程的比值，称为质点在这段时间内的平

?S均速率：v???（1.3-7），即质点在单位时间内所通过的路程，并不给

?t出运动的方向。

图 1.4-1

10、平均加速度——a??V ??（1.4-1）； ?t 11、瞬时加速度（当?t?0时，曲线转化为直线——辩证思维！）

?vdvd2ra?lim? =2= ax i + ay j+ az k ??（1.4-2）

?t?0?tdtdta= |a|=ax?ay?az??（1.4-3）

222dVyd2ydVxd2xdVzd2z?2， ay??2,az??2； ax = dtdtdtdtdtdt 3

12、自然坐标系中质点运动加速度

dv为质点在某一位置（或某一时刻）速度dt矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；

1）、切向加速度—— a??d?2）、法向加速度—— v·给出因速度方向（即切线方向单位矢量?的

dt方向）改变而具有的加速度。

an?V2?n，故 a?a???V2?n ?? （1.4-6）

a?a??an22dV2V22?()?() ?? （1.4-7）

dt?（3） 、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到： 由V?则有

ds，对（1.4-4）式求一阶导数， ???（1.4-4）

dtdVd(V??)dVd?????V ??（1.4-5）， dtdtdtdtdv为质点在某一位置（或某一时刻）速度dt矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；

1）、切向加速度—— a??d?给出因速度方向（即切线方向单位矢量τdt的方向）改变而具有的加速度。

2）、法向加速度—— v·

13、曲线运动与圆周运动类比

项目 曲线运动 圆周运动 平均速度 v= Δr/Δt ω=Δθ/Δt（平均角速度） 瞬时速度 v= limΔr/Δt ?= limΔ?/Δt（角速度） ?t?0?t?0 = dr/dt = d?/dt 加速度 a = limΔv/Δt ?= lim Δ?/Δt ?t?0?t?0dvd2r?= |?| = dω/dt = d2θ/dt2 dtdt2匀变速（ V = V0 + at ω = ω0 +βt 曲线特例） S = V0t + ?at2 θ =θ0 +ωt + ?βt2 直线运动 V2 - V20 = 2aS ω2 -ω20 = 2β（θ-θ0） 4

14、圆周运动的加速度：a = an+ at，at = Rβ，an = V2/R= ω2R a = √（an2+ at2）=√[（V2/R）2+ （Rβ）2]

15、伽利略速度变换：设Sˊ参考系在S系中，以速度u匀速运动；在Sˊ中的质点的速度为vˊ，则在同一时刻它在S系中的速度为：

?V(t)?u(t)?v(t)?； 加速度为：a?a0?a。

二、矢量运算法则

1、解析法 （1）、坐标法则：A?Axi?Ayi?Azk，B?Bxi?Byi?Bzk

A?B?(Ax?Bx)i?(Ay?By)i?(Az?Bz)k

（2）、矢量的标积和矢积∵

i?i?cos??cos0??1，j?j?cos??cos0??1，

k?k?cos??cos0??1；i?j?cos??cos90??0?i?k?j?k，

∴相同矢量的标积为1，相异矢量的标积为零； 故有：A?B?AxBx?AyBy?AzBz。

∵i?i?sin??sin0??0，j?j?sin??sin0??0，k?k?sin??sin0??0

i?j?sin?k?sin90?k?k， 同理： j?k?i， k?i?j，

∴相同矢量的矢积为零，相异矢量的矢积为1；

故有：A?B?(AyBz?AzBy)i?(AzBx?AxBz)j?(AxBy?AyAx)k。

2、几何法（平行四边形法则） 如右图所示：

先画出矢量OA，再从A

为起点画出矢量C至B点；连接OB，即可得

ra O A

rcrb

B

3、三角函数法（余弦定理）

矢量OB。所以 A?C?B，B?A?C。

若矢量A与矢量C的夹角为?，则OB2?OA2?AB2?2OA?ABcos?。 4、旋转矢量法 Y V 如右图所示，矢量OA用极坐标R(r,?)表示， B(r,θ+Δθ) 其以（恒定）匀角速度ω沿逆时针方向旋转，经过 时间t后，矢量 OA旋转的角度为θ=ωt； Δs 矢量OA在极坐标系与直角坐标系之间的转换： A(r,θ) X?Rcos??Rcos?t??（1） θ+Δθ S ω Y?Rsin??Rsin?t ??（2）称为运动学方程 0 θ X 5

已知质点的运动学方程，求其轨迹方程： 数理逻辑推理——将（1）和（2）式平方，相加

2X2?R2cos2?t ??（1）′ Y2?R2sin?t ??（2）′

（1）′+（2）′得X2?Y2?R2(cos2?t?sin2?t)?R2， 即 X2?Y2?R2 ??（3） 为质点的轨迹方程。

三、 坐标系

1、一维直线坐标系：OX轴：O X f = f（x）

2、二维平面坐标系： （1）、笛卡尔平面坐标系 OXY系 OX垂直于OY轴

f = f（x，y） ? （2）、自然平面坐标系 P 自然坐标op = s，称为质点P的 n 自然坐标，两个相互垂直 O· s 的单位矢量?和n，如图1.2-2所示； 图1.2-2

n ?为切向单位矢量，n为法向单位矢量。

（3） 、极坐标系

在研究圆周运动时，常采用极坐标系，其以两个变量r和θ来描述质点的坐标，如图1.5-1所示。

3、三维笛卡尔立体坐标系 OXYZ系 f = f（x，y，z）

（4） 、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到：

由V?则有

ds，对（1.4-4）式求一阶导数， ???（1.4-4）

dtdVd(V??)dVd?????V ??（1.4-5）， dtdtdtdtdv为质点在某一位置（或某一时刻）速度dt矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；

1）、切向加速度—— a??d?给出因速度方向（即切线方向单位矢量τdt的方向）改变而具有的加速度。

2）、法向加速度—— v·

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