2018年湖北省孝感市中考数学试卷及答案解析(6)

∴W的最大值是（23800﹣40a）元．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．

23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD=2

，CF=2，求AE和BG的长．

【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；

（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得解决问题；

【解答】解：（1）连接OD，AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， 又∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC， ∴OD⊥FG，

∴直线FG与⊙O相切；

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=，由此构建方程即可

（2）连接BE．∵BD=2∴∵CF=2， ∴DF=∴BE=2DF=8， ∵cos∠C=cos∠ABC， ∴∴

==，

，

=4， ，

，

∴AB=10， ∴AE=

=6，

∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥GF， ∴△AEB∽△AFG， ∴∴∴BG=

=

， =．

，

【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

24．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为

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A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．

（1）点C的坐标为 （﹣6，0） ，点E的坐标为 （2，0） ；抛物线C1的解析式为 y=﹣

．抛物线C2的解析式为 y=﹣

；

（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点． ①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；

②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+围．

【分析】（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法法求解析式；

（2）①根据P点直线CA或其关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；

②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．

【解答】解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2， 则点C坐标为（﹣6，0），E点坐标为（2，0）， 分别利用待定系数法求C1解析式为：y=﹣

，

BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范

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C2解析式为：y=﹣

故答案为：（﹣6，0），（2，0），y=﹣，y=﹣

（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P

设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1 ∴

解得

∴直线CA1的解析式为：y=x+2

联立：

解得或

根据题意，P点坐标为（﹣）；

若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P

设直线CA2解析式为y=k2x+b2 ∴

解得

∴直线CA2的解析式为：y=﹣x﹣2

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联立

解得或

由题意，点P坐标为（﹣∴符合条件的点P为（﹣

） ）或（﹣

）

②设直线BC的解析式为：y=kx+b ∴解得

∴设直线BC的解析式为：y=﹣x﹣6

过点B做BD⊥MN于点D，如图则BM=∴

，

BM=2BD=2|x|=﹣2x．

=（yP﹣yM）+（yN﹣yM）+2|x|=yP﹣yM+yN﹣yM﹣2x

h=PM+NM+

=[﹣x2﹣4x﹣6﹣（﹣x﹣6）]+[﹣x2+6﹣（﹣x﹣6）]+（﹣2x） =﹣x2﹣6x+12 ∴h=﹣（x+3）2+21

当x=﹣3时，h的最大值为21 ∵﹣5≤x≤﹣2

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∴当x=﹣5时，h=﹣（﹣5+3）2+21=17 当x=﹣2时，h=﹣（﹣2+3）2+21=20 ∴h的取值范围是：17≤h≤21

【点评】本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．

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