2018年湖北省孝感市中考数学试卷及答案解析(5)

∴四边形ABED是平行四边形．

【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键．

19．（9分）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘，引我成长”知识竞赛，赛后机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类，绘制成下面两个不完整的统计图：

根据上面提供的信息解答下列问题：

（1）D类所对应的圆心角是 72 度，样本中成绩的中位数落在 C 类中，并补全条形统计图；

（2）若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案．

（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%=100人， 则B类别人数为100×40%=40人，

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所以D类别人数为100﹣（4+40+30+6）=20人， 则D类所对应的圆心角是360°×而第50、51个数据均落在C类， 所以中位数落在C类， 补全条形图如下：

=72°，中位数是第50、51个数据的平均数，

（2）列表为：

男1 ﹣﹣ 男1男2 男2 女1 女2 男1 男2 女1 女2 男2男1 女1男1 女2男1 ﹣﹣ 女1男2 女2男2 ﹣﹣ 女2女1 ﹣﹣ 男1女1 男2女1 男1女2 男2女2 女1女2 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为

=．

【点评】此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC．

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请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；

（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．

【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，

∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC；

故答案为：PA=PB=PC；

（2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC，

∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．

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【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．

21．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．

【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．

【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．

∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p． 又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1， ∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1， ∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=﹣6， ∴p=﹣2．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．

22．（10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与

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用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．

【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元， 根据题意得：解得：m=2000，

经检验，m=2000是分式方程的解， ∴m﹣200=1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元． （2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000， 解得：x≤40．

W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000， ∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0， ∴W随x增大而增大，

∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，

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=，

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