理论力学之动力学习题答案 北航(7)

其中

a'e?atCO2?anCO2，上式可表示为

aatnC?CO2?aCO

2?a'r?a'K 将上式在y轴投影有：

?a0Ccos30?atCO'K

2?a

该式可表示成：

?a0Ccos30??BC?CO2?2?BCvCsin300

联立求解(a),(b)可得

a4323C? 9?r,?2BC?8?

3－17 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，

可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为

圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同

一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均 为

?vAvAB?AP?A2R杆上B点的速度为：

v2B??ABPB? 2vA

AB杆的角加速度为：

?AAB???AB?v?

AP?0 取A为基点，根据基点法有

aantan

B?A?aBA?aBA?A?aBA

将上式分别在x,y轴上投影有

acos450Bx??anBA?v2A4R2a?anBAsin450ByA?a?3vA4R

atCO2

a'r

aC

ana'KCO

2

b）

?BC

x

y

P vB

O R O

aanBAy

R A

x

（aB?a2Bx?a2By

3－18 取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系

210vA?4R

vCa?vCe?vCr

vDe

vDr

根据几何关系可求得：vCe?vCr?3?r

再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系

vCe y

vDa?vDe?vDr

vCa

v?vDr

由于BD杆相对动系平移，因此Cr

将上式分别在x,y轴上投影可得

vCr x

3?r2

vDax??vDe?vDrsin300??3vDay??vDrcos300???r2

求加速度：研究C点有

将上式在y轴投影有

aC?aCa?aCe?aCr?aCK

aDK

aDe aDr

0?aCesin300?aCrcos300?aCKsin300

2a?3?r 由此求得Cr

再研究D点

y

aCe aCK aCa

x

aD?aDa?aDe?aDr?aDK

aCr 由于BD杆相对动系平移，因此

将上式分别在x,y轴上投影有

aCr?aDr

92?r2332?r2

aDax?aDrsin300?aDKcos300?aDay??aDe?aDrcos300?aDKsin300??

3－21 由于圆盘纯滚动，所以有aC?r?

根据质心运动定理有：

maC?Fcos??FS

根据相对质心的动量矩定理有

求解上式可得：

0?FN?Fsin??mg

aC

?

m?2??FSr?Fr0

Fr(rcos??r0)aC?m(r2??2)，FN?mg?Fsin? F(?2cos??rr0)FS?r2??2

FS FN

若圆盘无滑动，摩擦力应满足FS?fFN，由此可得：

当：mg?Fsin?时，

F(?2cos??rr0)f??fmin22(mg?Fsin?)(r??)

3－22 研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，

由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知

AB杆质心C的加速度铅垂。 FAN 由质心运动定理有：

根据相对质心的动量矩定理有：

maC?mg?FAN

mg

刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。

1lml2?AB?FANcos?122

A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。 有运动关系式

aC??AB

求解以上三式可求得：

lcos?2

P ?AB aC

FAN?

3－25 设板和圆盘中心O的加速度分别为

2mg5

aA a1,aO，圆盘的角加速度为?，圆盘上与板

的接触点为A，则A点的加速度为

?

aO naAO R

aA?aO?atAO?a

将上式在水平方向投影有

nAO

A taAO

a1

taAx?aO?aAO?aO??R?a1 （a）

取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有

m2aO?F2 (b)

应用相对质心动量矩定理有

m2g F2N F2

1m2R2??F2R2

(c)

再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有

m1a1?F?FS?F2

作用在板上的滑动摩擦力为：

(d )

F2 m2g m1g FN

F FS?fFN?f(m1?m2)g (e)

由(a) (b) (c) (d) (e)联立可解得：

FS a1?

3F?3f(m1?m2)g3m1?m2

3－29

解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置

时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：

1111P 2222T2?2m1vC?2JC?AB?2m2vA?2JA?A

其中：

?AB vA

l2vA??ABlsin???lsin???,vAlsin????A???,RR?AB????,vC????,vC ??

因此系统的动能可以表示成：

?A??2?lsin????R????

2??21ml221mR1?l?1212?T2?m1?????m2(lsin???)???2?2?212222?

1?2?3ml2??2sin2?m1l2?2640系统从??45位置运动到任意?角位置，

AB杆的重力所作的功为：

ca W1?2?m1g

l(sin450?sin?)2

根据动能定理的积分形式

T2?T1?W1?2

aA

m1g初始时系统静止，所以T1?0，因此有

1?2?3ml2??2sin2??mgl(sin450?sin?)m1l2?21642

将上式对时间求导可得：

1?????3ml2?????sin2??3ml2??3sin?cos???mglcos???m1l2?2213222

将上式中消去?可得：

?1???3ml2???sin2??3ml2??2cos?sin???mglcos?m1l2?2213222

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