理论力学之动力学习题答案 北航(3)

mvrcos?

整理该式可得：

将该式积分有：

vrdvr?mR?2cos?dR

dvr?R?2 dR12122vr??R?c 22122初始时R?RO,vr?0,由此确定积分常数c???2RO，因此得到相对速度为

2vr??R2?RO

1-27 重为P的小环M套在弯成xy?c2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度?转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。

F y y ? Fe ?

M M P x x

解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为ar?0，因为金属丝为曲线，所以vr?0，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中

F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：

F?Fe?P?0

其中：Fe?Py?2，将上式分别在x,y轴上投影有 gP?Fsin??0Fe?Fcos??0（a）

c2dyc2dy以为tan???，y?,??2,因此

dxxdxx

c2tan??2x（b）

由（a）式可得

tan??（c）

PFe

将Fe?

P，并利用 xy?c2，可得： y?2和式（b）代入式（c）

g?c?x???g?

再由方程（a）中的第一式可得

42??cg???,y????2?????

13213F?

?c??P1x???P1??P1??P1?24??sin?gtan?c??

42432-1 解：当摩擦系数f足够大时，平台AB 相对地面无滑动，此时摩擦力F?fFN

取整体为研究对象，受力如图，

系统的动量：p?m2vr

将其在x轴上投影可得：px?m2vr?m2bt

根据动量定理有：

vr v

m2g

F

FN

m1g

x

dpx?m2b?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b即：当摩擦系数f?时，平台AB的加速度为零。

(m1?m2)g

当摩擦系数f?

m2b时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：

(m1?m2)g

将上式在x轴投影有：

根据动量定理有：

p?m2(v?vr)?m1v

px?m2(?v?vr)?m1(?v)?m2bt?(m1?m2)v

dpx?m2b?(m1?m2)a?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b由此解得平台的加速度为：a??fg（方向向左）

m1?m2

2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

x FN p?mv?m1v1?mv?m1(v?vr)

v

将上式在x轴投影：

F

vr mg ??m1(x??l?cos?) px?mx 根据动量定理有：

m1g

dp2xdt

??m1l?sin???F??kx?(m?m1)?x系统的运动微分方程为：

2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为m??vt，提起部分

的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为vr，方向向下，大小为v（如图a所示）。

F(t)

y

mg

v r (a)

(b) FN

根据变质量质点动力学方程有：

??kx?m1l?2sin?t (m?m1)?xvm将上式在y轴上投影有：

dvdm?F(t)?mg?vr?F(t)?(?vt)g?vr?vdtdt dv?F(t)?(?vt)g?vr?v?F(t)??(vgt?v2)dt

m由于

再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：FN?(l?vt)?g

2－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象，

FN

受力如图。根据变质量质点动力学方程有： v

dvdmm?F?mg?FN?vrdtdt mg

x 船的质量为：m?m0?qt，水的阻力为F??fv

将其代入上式可得：

dv(m0?qt)??fv?mg?FN?qvrdt

将上式在x轴投影：(m0?qt)

dv?0，所以由上式可求得：F(t)??(vgt?v2)。 dtdv??fv?q(?vr)。应用分离变量法可求得 dtln(qvr?fv)?fln(m0?qt)?cq

由初始条件确定积分常数：c?ln(qvr)?

f?m0?qtq?)??1?(m0????

flnm0，并代入上式可得： qqvv?rf

2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为m的质点沿

半径为R的圆周运动，其相对方

板的速度大小为u（常量）。圆盘中心到转轴的距离为l。质点在方板上的位置由?确定。初始时，??0，方板的角速度为零，求方板的角速度与?角的关系。

z

ve vr g u M ? r ? o ?

o R l

l

图a 图 b

解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计

算方板和质点对转轴的动量矩。

设方板对转轴的动量矩为L1，其角速度为?，于是有

L1?J?

设质点M对转轴的动量矩为L2，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为ve,vr。相对速度沿相对轨迹

的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度va?ve?vr。它对转轴的动量矩为

其中：

L2?L2(mva)?L2(mve)?L2(mvr)

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