理论力学之动力学习题答案 北航(4)

L2(mve)?mr2??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]?

L2(mvr)?m(l?Rcos?)vrcos??mRsin2?vr

系统对z轴的动量矩为L??L1?L2。初始时，??0,??0,vr?u，此时系统对z轴的动量矩为

L0?m(l?R)u

当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为

L??J??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]??m(l?Rcos?)ucos??mRsin2?u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu

由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有L??L0，因此可得：

m(l?R)u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu

由上式可计算出方板的角速度为

??

2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为?，则系统对O轴的动量矩为：

根据动量矩定理有：

ml(1?cos?)uJ?m(l2?R2?2lRcos?)

LO?JO???l(2a??r)r2?

?

dLO??[JO??l(2a??r)r2]?dt??l(a?x)gr??l(a?x)gr

FOy FOx

P

整理上式可得：

???l(2x)gr[JO??l(2a??r)r]?

由运动学关系可知：?r?x?，因此有：??r???。上式可表示成： x

2

??2?lgr2x [JO??l(2a??r)r2]?x2?lgr22令??，上述微分方程可表示成：??x??x?0，该方程的通解为： 2JO??l(2a??r)r2

x?c1e?t?c2e??t

根据初始条件：t?0,x?x0,x??0可以确定积分常数c1?c2?

系统的动量在x轴上的投影为：

x0，于是方程的解为： 2x?x0ch?t

系统的动量在y轴上的投影为：

根据动量定理：

?px???rsin??lrd??2??lr2?2?lrx0?

? py??l(a?x)?r??l(a?x)?r??2?lx?r?2?lxx

由上式解得：

?x?F0xp?y?F0y?P??l(2a??r)g pFOx?2?lrx0?2ch?t，

2－14

取整

2Foy?P??l(2a??r)g?2?l?2x0ch(2?t)

T?1122mvA?mCvC22

mg

其中：vA,vC分别是AB杆的速度和楔块C的速度。 若vr是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据 复合运动速度合成定理可知：

vc?vAcot?，

vr vA

vC

因此系统的动能可表示为：

T?111222mvA?mCcot2?vA?(m?mCcot2?)vA222，

系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：

dT??W，

系统的动力学方程可表示成：

?12?2d?(m?mCcot2?)vA?(m?mcot?)vAdvA?mgvAdtC??2?

由上式解得：

aA?dvAmg?dtm?mCcot2?，aC?aAcot?

2－17 质量为m0的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为m(m0?3m)光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处??300时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。

A A

? ? R R vm0g e B B mg vr FN 图A 图B

解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为vr，物块的速度为ve，则系统的动能为

T?

设??0为势能零点，则系统的势能为

1111m0ve2?mva2?m0ve2?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]2222

V??mgRsin?

根据机械能守恒定理和初始条件有T?V?0，即

321mve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]?mgRsin?22(1)

系统水平方向的动量为：

px?m0ve?m(ve?vrsin?)(2)

根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有

3mve?m(ve?vrsin?)?0

由此求出ve?1vrsin?，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且??300最后求4得：

vr?4

下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为ar，物块的加速度为ae，对于小球有动力学方程

gR1gR,ve?15215

maa?m(ae?arn?art)?F?mg（a）

A

t ? ar R F? R F B m0g mg ae ae

FN 图C 图 D

对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有

A B m0ae?F?m0g?FN（b）

将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得

m(arn?aecos?)?F?mgsin?

vr2其中相对加速度为已知量，a?。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得

Rnr

m0ae?Fcos?

令??300，联立求解三个投影方程可求出

0?FN?m0g?Fsin?

ae?

2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，

设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：

473g94,F?mg,FN?3.6267mg21575

1?)2?mgR(1?cos?) （a） m(R?2mg

tam

将上式对时间t求导并简化可得：

????

每个小球的加速度为

gsin? (b ) Rm0g

FN

nmg am

取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理

将上式在y轴上投影可得：

tna?am?am??cos??R??2sin?)i?(?R???sin??R??2cos?)j?(R?

?maiiC??Fi

将(a),(b)两式代入上式化简后得

??sin??R??2cos?)?F?2mg?mgm0?0?2m(R?N0

FN?m0g?2mg(3cos2??2cos?)

FN?0时对应的?值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成

m0?02m

3m11上述方程的解为：cos??(?1?0)

332m?113m0???? 圆环脱离地面时的?值为?1?arccos1??332m????113m0????也是方程的解，但是???1时圆环已脱离地面，因此而?2?arccos1??332m??????2不是圆环脱离地面时的值。

3cos2??2cos??

2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为vr，牵连速度为ve，由系统对z轴的动量矩守恒，有：

其中：ve?r?，则上式可表示成：

Lz??m0r2??mver?mvrcos?r?0

z (m0?m)r2??mvrcos?r

mvrcos??vcos?由此解得：?? ?r(m0?m)rrve

vr ?

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