动力学
1－3 解：
（MADE BY水水）
运动方程：y?ltan?，其中??kt。
将运动方程对时间求导并将??300代入得
l??lk4lk??v?y??3 cos2?cos2?2lk2sin?83lk2???a??y?9 cos3?
1－6
证明：质点做曲线运动，
所以质点的加速度为：a?at?an,
设质点的速度为v，由图可知:
y vy ? v ? avacos???n，所以: a?n
vavy将vy?c，an?vy a x
v2?
o
an v3代入上式可得 a?
c? 证毕 1－7
2a?vv证明：因为??，an?asin?? van3v所以：?? a?v
z at ? a 证毕
1－10
an o y
x
解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：
s?L?v0t，并且 s2?l2?x2
将上面两式对时间求导得：
??2xx? ???v0，2sss
vo
? F y
vo
FN
mg sv0 （a） x(a)式可写成：xx???v0s，将该式对时间求导得：
由此解得：x???
2 (b) ??x?x?2??s?v0?v0x
222?2v0?xv0l将(a)式代入(b)式可得：ax????x??3（负号说明滑块A的加速度向上）
xx
取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma?F?FN?mg
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
其中：
??mg?Fcos?m?x???Fsin??FN m?y
cos??xx2?l2,sin??lx2?l2
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
22v0llF?m(g?3)1?()2x x22v0l????3,???0xyx
1－11
?
vB O A B ? O R x A ? vA x 解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB??R，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：
vB?vAcos? （a） 因为
将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：
cos??x2?R2x （b）
vA??R
xx2?R2 （c）
?，由于vA??x（c）式可写成：?x?x2?R2??Rx，将该式两边平方可得：
将上式两边对时间求导可得：
?后，可求得： 将上式消去2x?2(x2?R2)??2R2x2 x???(x2?R2)?2xx?3?2?2R2xx? 2xx(x2?R2)2 (d)
?2R4x由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 aA?2 22(x?R)
取套筒A为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：
????x?2R4xy B R ma?F?FN?mg
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：
? O ? F FN A vA mg x
其中：
???Fcos?m?x??Fsin??FN?mg m?yRsin??,cos??x
?2R4xx2?R2????2??0x,?y22(x?R)x,
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
F?m?2R4x2(x?R)2252,FN?mg?m?2R5x(x2?R2)2
5
1－13
解：动点：套筒A；
动系：OC杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理
ve
va
vr
有：vacos??ve，因为AB杆平动，所以va?v，
va?ve?vr
velvcos2?由此可得：vcos??ve，OC杆的角速度为??，OA?，所以 ?? OAcos?l
avcos2450av当??45时，OC杆上C点速度的大小为： vC??a? ?l2l0
1－15
解：动点：销子M
动系1：圆盘
动系2：OA杆
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：曲线运动
相对运动：直线运动
ve1
vr1
ve2 vr2
x
牵连运动：定轴转动
根据速度合成定理有
va1?ve1?vr1， va2?ve2?vr2
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即va2?va1，由上两式可得：
ve1?vr1?ve2?vr2 (a)
将（a）式在向在x轴投影,可得：
由此解得：
?ve1sin300??ve2sin300?vr2cos300
bsin300vr2?tan30(ve2?ve1)?OMtan30(?2??1)?(3?9)??0.4m/scos2300
00
ve2?OM?2?0.23
1－17
解：动点：圆盘上的C点；
动系：O1A杆；
定系：机座；
运动分析：绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理有
2vM?va2?ve2?vr22?0.529m/s
va ve vr va?ve?vr （a）
将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：
vacos300?vecos300，vasin300?vrsin300
ve?va?R?，va?vr?R?，
?1?veR???0.5?O1C2R
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