数学高考总复习：随机变量及其分布(6)

或

6.（2008山东）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者

为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概

率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). 解析： (Ⅰ)

法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为 ε P 0 1 2

3 ε的数学期望为

Eε=

法二：根据题设可知 因此ε的分布列为

（Ⅱ）

法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，

所以AB=C∪D,且C、D互斥，

又

由互斥事件的概率公式得

法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3 由于事件A3B0,A2B1为互斥事件， ∴P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

=

7.（2008江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令 （1）写出

表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 解析： （1）

的所有取值为

P P 的所有取值为、

的分布列分别为： 0.8 0.2 0.9 0.15 ,

1.0 0.35 1.125 0.15 1.25 0.15 0.8 0.3 0.96 0.2 1.0 0.18 1.2 0.24 1.44 0.08 （2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

,

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 （3）令

P P 所以

10 0.5

15 0.18 20 0.32 表示方案所带来的效益，则

10 0.35 15 0.35 20 0.3 可见，方案一所带来的平均效益更大。

8.（2008湖北）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号. （Ⅰ）求的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若

,

,

,试求a,b的值.

解析：

（Ⅰ）的分布列为： P 0 1 2 3 4 ∴

（Ⅱ）由 又

，得a2×2.75＝11，即所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.

∴

或即为所求.

9.（2008湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签

约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望. 解析：

用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.

由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

.

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

所以， 的分布列是 P 0 1

2 3

的期望

10.（2008陕西）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得

分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率

为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望． 解析：

（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为

．

，则

，

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