数学高考总复习：随机变量及其分布(4)

于是，

．

，

，

．

【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，

（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ、Eη。 【答案】

（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0

A队队员胜的概率 A队队员负的概率 ，

，

根据题意知ξ+η=3，

所以

。

（2）

因为ξ+η=3，所以

5、甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。

(1)求该题被乙独立解出的概率；

(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 解析：

(1)甲、乙解出此题分别记为事件A、B，甲、乙没有解出此题分别记为事件 则有

，

，

甲或乙解出此题的对立事件：甲乙都没有解出此题，记为 则甲或乙解出的概率 ∴ ∴

即：该题被乙独立解出的概率是0.8； (2)解出该题的人数ξ为：0、1、2

则解出该题的人数ξ的分布列为： ξ P 0 0.08 1 0.44

∴

2 0.48 期望 方差

举一反三：

【变式】 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各

交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。

(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率； (Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差。 【答案】

(Ⅰ)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，利用相互独立事件的概率，

其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．

(Ⅱ)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布

则期望望，

方差

。

类型五：离散型随机变量的期望和方差在实际生活中的应用

6、A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A机床 次品数ξ1 概率p B机床 次品数ξ2 概率p 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04 问哪一台机床加工质量较好. 思路点拨：

解析：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44 它们的期望相同，再比较它们的方差。

Dξ1=(0-0.04)×0.7+×(1-0.44)×0.2+(2-0.44)×0.06+(3-0.44)×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264

∴Dξ1＜Dξ2，故A机床加工较稳定、质量较好. 总结升华：

①期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够。如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差。方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定。

②对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2。可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

举一反三：

【变式1】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________.

2

2

2

2

【答案】 A1的数学期望： A2的数学期望： A3的数学期望： A4的数学期望：

=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 =0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7 =0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6

∴应选择的方案是A3

【变式2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下： ε P η P 0 1 2 0 1 2 试对这两名工人的技术水平进行比较。

【答案】工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

，

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

，

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当， 但Dε＞Dη，可见乙的技术比较稳定。

【变式3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与

的分布列为： ξ p

p 1 0.3 2 b 3 0.3 1 a 2 0.1 3 0.6

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