数学高考总复习：随机变量及其分布(2)

这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验， 由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知， 1号盒恰有r个球的概率

法二：用古典概型

把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有m个等可能的结果， 其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m－1）

n－rn

，

故所求概率P（A）=

答：1号盒恰有r个球的概率为

举一反三：

。

【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？ 【答案】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，??，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

设从低层到顶层停次，则其概率为，

∴当或时，最大，即最大，

答：从低层到顶层停不少于3次的概率为

，停4次或5次概率最大．

【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．

【答案】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 记事件 记事件 记事件

=“甲打完3局才能取胜”， =“甲打完4局才能取胜”， =“甲打完5局才能取胜”．

，乙获胜的概率为．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

∴甲打完3局取胜的概率为．

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

∴甲打完4局才能取胜的概率为．

③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

∴甲打完5局才能取胜的概率为 (2)事件

＝“按比赛规则甲获胜”，则

、

、

彼此互斥，

，

．

又因为事件

故

答：按比赛规则甲获胜的概率为

．

类型二：分布列的性质

2、若离散型随机变量ξ的概率分布列为： ξ p 0 9c-c 21 3-8c 试求出常数c与ξ的分布列。

解析：由离散型随机变量分布列的基本性质知：

解得常数

ξ p ，从而ξ的分布列为：

0 1 总结升华：解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。

举一反三：

【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下： ξ P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率． 【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有

P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．

【变式2】随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是_______．

【答案】；

由题意知：，解得，

所以

。

类型三：离散型随机变量的分布列

3、某人参加射击，击中目标的概率是。

①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； ②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；

③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。

思路点拨：由已知，某人射击6次相当于6次独立重复试验，他射击6次击中目标的次数ξ满足

，，因此，随机变量ξ服从二项分布；

第一次击中目标时所需要射击的次数η满足服从几何分布。 解析：

，因此η

①随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，

则

故的分布列为： 0 1 2 3

4 5 6 P ②设

表示他前

次未击中目标，而在第次射击时击中目标，

则的取值为全体正整数1,2,3,? 则 P 1 的分布列为

2 3 4 ?

? ? ? ③的取值为1,2,3,4,5,6

，表示前

次未击中，而第次击中，

∴ 而

，；

表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中

∴

∴的分布列为： P 1

2 3 4 5 6 总结升华：求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.

举一反三：

【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.

【答案】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.

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