高中数学同步题库含详解55不等关系与不等式(4)

因为?????

【解析】

=?2??2+2???10? ???2+3???9 =?2??2+2???10+??2?3??+9

=???2????1=? ??+ ?<0.

24

12

3

所以 ??

【解析】因为 ??，??，?? 为三角形的三边的长，所以 ??0 ，所以 ??2

【解析】因为 ?2

【解析】?????=??2???+1?

12

3

3

1??2+??+1

π

=

??2 ??2+1 ??2+??+1

=

??2 ??2+1

123

??+ +

24．

由于 ??+2 +4≥4>0，??2≥0，??2+1>0， 所以

??2 ??2+1

122

34

??+ +

≥0，

即 ?????≥0，亦即 ??≥?? （当且仅当 ??=0 时，等号成立）． 77. 5,10

【解析】?? ?1 =?????，?? 1 =??+??，?? ?2 =4???2??． 设 ?? ?2 =???? ?1 +???? 1 （??，?? 为待定系数），

则 4???2??=?? ????? +?? ??+?? ，即 4???2??= ??+?? ??? ????? ??，

??+??=4,所以

?????=2,??=3,解得

??=1,

所以 ?? ?2 =3?? ?1 +?? 1 ． 因为 1≤?? ?1 ≤2，2≤?? 1 ≤4，

所以 5≤3?? ?1 +?? 1 ≤10，即 5≤?? ?2 ≤10． 故 ?? ?2 的取值范围是 5,10 ． 78. ?? ??

【解析】易知 ?? ?2 =?? 1 +3?? ?1 ． 又因为 1

故 ?? ?2 的取值范围为 5,10 ． 80. ②③④

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1 ??2+1+??<

12??

=?? ?? ，?? ?? =??? ??2?1=

1??+ ??2?1>

12??

=?? ?? ，

【解析】易知 ????<0，????>0，所以①不正确；由已知得 ?? 0，所以 ????+????<0，即 ??+??<0，故②正确；可知 ??>??，???>???，所以 ?????>?????，即③正确；易知 ??>0>??，?????>0，所以 ?? ????? >?? ????? ，即 ④正确．综上知，正确的命题是②③④． 第三部分

81. 法一：因为 ??>0 且 ??>??>0， 所以 ????>????>0． 又因为 ??>0 且 ??>??>0， 所以 ????>????>0． 所以 ????>????>0．

两边同乘以 ???? ????>0 ，得 ??>??． 法二：因为 ??>??>0， 所以 ??>??>0． 又因为 ??>??>0， 所以 >．

??

????

??1

1

1

1

??

??

??

??

82.

2??3???3? 2????2???2?? =2?? ??2???2 +?? ??2???2

= ??2???2 2??+??

= ????? ??+?? 2??+?? .

因为 ??≥??>0, 所以 ?????≥0,??+??>0,2??+??>0, 从而 ????? ??+?? 2??+?? ≥0, 即 2??3???3≥2????2???2??. 83. 因为 0π． 又 0

2ππ

1

2

π

所以 ?20． 因为 ??≤??，

所以 ?????≤0，≤1，

????

π

??

ππ??

所以 ?2

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所以 6

3

<14

??3

， 所以 1

??

2

??

所以 ??2??2

??+ ??≥ ??+ ??．解法二：（作商法） 因为 ??,??∈??+，

所以 ??2

??2

??+ ??≥ ??+ ??．解法三：（平方作差法）

所以 ??2??+ ??2?? ? ??+ ?? =

?? +??? ???=??????? ?? ??????? ??+ ??

= ????? 11 ??? ?? =

????? ??? ?? ????=

??+ ?? ??? ?? 2

????≥0,

1 ??22??21

2所以?? + ??

??+ ????= ??+?? ?? ??+ ??= ?? 3

+ ?? 3

??+ ?? ????=??+??? ???? ????=

??? ?? 2

+ ???? ???? ????≥

????=1.

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2

2??2??2

因为 + ? ??+ ?? ????====

所以

??2??

??2??2

++2 ???? ? ??+??+2 ???? ???? ??3+??3

? ??+?? ??????+??2

??+??2?????????? ???? ??+?? ????? 2

≥0,

????+

??2??

≥ ??+ ??．

86. 因为 ?6

当 0≤??<8 时，0≤??<4； 当 ?6

右?左=2??4?2??3?2??+2

=2 ???1 ??3?1

=2 ???1 2 ??2+??+1 87.

=2 ???1

2

??+2 +4

12

3

??

????

1

1

1

≥0.

所以 ??2+??+1 2≤3 ??4+??2+1 ． 88. 因为 ?????>0． 又因为 ??>??>0， 所以 ?????>?????>0． 所以 ????? 2> ????? 2>0． 所以 0< ????? 2< ????? 2． 又因为 ??<0， 所以

??????? 2

1

1

>

??

????? 2

．

1

1

??????>??>00

89. ??????>?????>0? ??????>?????．

???>???>0??<0

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??+?? ? ??+?? = ????? + ????? = ????? + ???

??????

90. = ????? +?? 1??????????

= ????? +??

??= ????? 1???

?? .

由已知，若 ??，??，??，?? 是正实数，且 ?? 最大， 所以 ??>??，且 ??>??，即 ??

??>1， 所以 ??

??

??=??>1，

所以 ?????>0，1???

??>0，

所以 ????? 1???

?? >0，即 ??+??>??+??．

91. 因为正实数 ??，??，?? 为三角形的三边长， 所以 ??+??>??，??+??>??，??+??>??， 所以

??????+??+??+??+

??

??+??<

2??2??2??+??+??+??+??+??+

??

??+??+??问题得以证明． 92. 因为 ??≠??，

所以 ??4+6??2??2+??4?4???? ??2+??2 = ????? 4>0， 所以原不等式成立．

93. 因为 ??,??∈??，且 ??+??=1， 所以 ??=1???， 所以

??+2 2+ ??+2 2?

252=??2+??2+4 ??+?? ?9

2=2??2?2??+

1

22 =2 ???1

≥0,2

所以 ??+2 2+ ??+2 2≥252

成立．

94. 换元法：

令 ??+??=??，?????=??，则 2≤??≤4，1≤??≤2． ??+??

由 ??+??=??,?????=?? 解得 ??=2,??=????? 2.

所以 4???2??=4?

??+??2

?2?

?????2

=2??+2?????+??=??+3??．

而 2≤??≤4，3≤3??≤6，则 5≤??+3??≤10． 所以 5≤4???2??≤10．

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=2,

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