梁弯曲时的强度条件(8)

虽然A截面弯矩的绝对值 ，但MA为正弯矩，应力分布如图20-28(d)

所示。最大拉应力发生于截面下边缘各点，此截面上最大拉应力大于最大压应力。因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经过计算才能确定：

A截面最大拉应力为：

从以上计算可看出，最大压应力发生于截面Ｂ下边缘处，最大拉应力发生于A截面下边缘处，都满足强度条件，因此是安全的。

第十节 弯曲时的剪应力

梁在发生横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩M作用，而且还有剪力Q作用。弯矩是截面上正应力合成的结果，剪力则是截面上剪应力合成的结果。本节将研究几种常见的简单截面梁横截面上的剪应力的计算公式和剪应力的分布情况。

一、矩形截面梁

图20－29所示一受横向截荷的矩形截面梁，在求任意截面上的剪应力时，对剪应力的分布作如下假设：

第一，截面上任一点的剪应力方向均平行于剪力Q的方向。

第二，剪应力沿矩形截面的宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y坐标有关。

P

m (b) (a)

(c)

Q

y h z y x m τ n τz τ τx 图 20-29 τ τ? τy

根据以上两假设，沿矩形截面宽度剪应力分布如图20-29（b）所示。

为了对上述假设的合理性作一简略说明，我们在靠近梁侧面处取一小单元体[图20-29（b）]。设横截面上在边界处剪应力分解成平行于边界的τy和垂直于边界的τz ，由剪应力互等定理可知在单元体的侧面必有-τx 与τz 大小相等。但此侧面即为梁的侧表面，而侧表面为自由表面，不可能有剪应力，故知

τx=τz=0，即说明梁横截面上沿周界处剪应力的方向必与周界相切。因此，左、右边界上剪应力是平行于剪力Q的。又因对称关系，在y轴上剪应力必然平行于剪力Q。此外进一步设想整个截面上各点剪应力均平行于剪力Q。又当截面高度h大于宽度b时，可近似地认为剪应力沿截面宽度均匀分布。由弹性力学可以证明，在这两点假设基础上建立的剪应力公式对长梁是足够精确的。 如从梁上两横截面之间并在距中性层为y处切取一微体积mn [图20-29（b）、（c）]，根据以上两假设，在此体积的竖直面上有均匀分布的竖直剪应力τ。又由剪应力互等定理知，此体积的水平面上有水平剪应力τ? ，并且τ?=τ。下面我们先求水平截面上的τ?。

在梁上取长为dx的一小段[图20-30（a）]，设左、右截面上的弯矩分别为M及M+dM，剪力为Q。再在1—1?、2—2?两截面间距离中性层为y处作一水平截面，研究此截面以下的部分[图20-30（b）、（c）]。在六面体3 1?2?4上只画出左右侧面上的正应力σ和水平截面上的剪应力τ?。在左侧截面上作用的正应力将构成一向左的水平力N1，在右侧截面上作用的正应力将构成一向右的的水平力N2，因为两截面上弯矩不同，故N1、N2也不同。只有在存在水平剪应力τˊ的情况下，才能维持六面体在水平方向的平衡。因此，τˊ可由此六面体的水平方向的平衡而得到。

M Q

Q 2 h y x x 1 2 y 1 2 1?? 2? η

3 4 1? 1′ 2?

1? 2? 3 4 N2 x z σdA N1 A1 dx (b) (a) (c) 图 20-30 dx M+dM

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