梁弯曲时的强度条件(5)

然后列轴力和弯矩方程，因剪力Q比较次要而略去不计，对AB段距左端为x的任意截面有：

再列BC段的内力方程，对距C段为y的任意截面有：

由上述方程可画出刚架的M图和N图［图20-20（b）（c）］。在画刚架弯矩图时，规定把弯矩图画在杆件受压纤维的一侧。如图20-20的水平杆AB上侧纤维受压，该段M图画在上侧；竖直杆BC右侧纤维受压，该段Ｍ图画在右侧。 一般金属桁架的节点，常是铆接或是焊接，虽具有一定程度的刚性，但经过研究得知，当载荷加在桁架节点上时，在杆上由于弯矩而产生的应力远小于由轴力而产生的应力，故桁架节点可视为铰链。

第八节 弯曲时的正应力

现在来研究梁横截面上的应力，先研究正应力。由前几节知，梁横截面上的弯矩是由正应力组成的，与剪应力无关。而剪力又仅与剪应力有关。因此，可以取一段只有弯矩而无剪力的梁来研究弯曲正应力，在此情况下的弯曲称为纯弯曲。

图20-21（b）所示的梁即属于纯弯曲。此梁各截面的剪力Q等于零，而弯矩M是一个常值。横截面上的正应力必组成一个矩为M＝m的力偶，此力偶位于外力偶m所在的平面内（纵向对称面内）。如果知道应力在横截面上的分布规律，就能计算出其上每一点的应力。但只用静力条件不能找到应力分布规律，因此，所研究的问题是超静定的，需先通过实验来研究梁的变形。

一、矩形截面梁纯弯曲实验

取矩形截面梁，在梁的表面上作出与梁轴线平行的纵向线和与纵向线垂直的横向线。在梁两端施加力偶m，使此梁发生纯弯曲（图20-21），则可观察到以下现象：

其一，横线ab、cd、ef、gh仍保持为直线，互相倾斜了一个角度后，仍垂直于弯曲后的纵线。abcd和efgh变形后各位于一倾斜平面内。

其二，所有的纵线都弯曲成曲线。靠近底面的纵线伸长，靠近顶面的纵线缩短。而位于其间的某一位置的一条纵线o—o，其长度不变。 其三，原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。

二、假设

以 上看到的只是梁弯曲后外表的变化，梁的变形就只能由表面的变形现象去推断它。横截面的轮廓线在梁弯曲后仍然保持在一平面内，这就启示我们提出以下假设：梁 的所有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持为平面，并且和变形后的梁轴线垂直。这一假设称为平面假设。又因为梁下部的纵向纤维伸长而宽度减小，上部纵 向纤维缩短而宽度增加。因此又假设：所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩。（即纵向纤维之间无挤压）。以上假设之所以成立，是因为以此为基础所得 到的应力和变形公式为实验所证实。这样，平面假设就反映出梁弯曲变形的本质了。

根据平面假设，把梁看成由无数纵向纤维所组成，包括o—o在内且与底面平行的一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，我们把它叫中性层，中性层和横截面的交线，叫做中性轴，以z表示。这样，弯曲变形的特点可归结为：各横截面绕中性轴转动，中性层以下纤维伸长，以上纤维缩短[图20-22（a）]。

d?

三、梁横截面上的正应力

现在来推导纯弯曲时梁的正应力公式。与推导扭转剪应力公式相似，也需要综合考虑变形几何、物理和静力学三方面关系来解决 （一）变形几何方程

纯弯曲时梁的纵向纤维由直线弯成圆弧［图20-22（b）］。相距为dx的两相邻截面m-n和p-q延长交于O处，O即为中性层的曲率中心。梁轴线的曲率半径以

表示，两平面间的夹角以

表示。现求距中性层为y处的ab纤维的线应变。

，原长为dx，即ρdθ。故纤维的的线应变

该纤维变形后的长度为（ρ+y） 为：

(a)

（二）物理方程

因假设纵向纤维为轴向拉伸或压缩，于是当正应力不超过比例极限时，由胡克定律知

(b)

对于指定的横截面， 为常数，（b）式就是横截面上的正应力的分布规律。由

此式可知，横截面上的任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等(图20-23)。

σ·dA z z y y x

C

图20-24 m

M

σ 图20-23 σ

（三）静力学关系

上面虽已找到应力分布规律，但还不能直接按(b)式计算弯曲正应力，这是因为曲率半径 以及中性轴的位置均未确定。这可以从静力学方面来解决。 纯弯曲时梁横截面上仅有正应力(图20-24)。我们取横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴。过y、z轴的交点与杆纵线平行的线取为x轴。把横截面划分为无数微面积dA，在坐标(y、z) 处的微面积dA上作用着微内力 dA。横截面上这些微内力构成空间平行力，故可组成三个内力分量：轴力N和绕y、z轴之矩My、Mz即

在纯弯曲时,截面的轴力N与绕y轴的矩My都为零，绕z轴的矩Mz即是横截面的弯矩M，因此

(c)

(d)

(e)

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