梁弯曲时的强度条件(3)

解 先由平衡方程

和

分别算得支反力为：

因整个梁的载荷仅为一力偶，故全梁只有一个剪力方程。取距左端为x的任意剪力来分析，当

时

（a）

在集中力偶Mo的左、右边两段梁的弯矩方程式将不相同，须分段列出。 AC段上，即

时，

(b)

CB段上，即

时，

由式（a）知，剪力图为一水平直线[图20-13（c）]。由式（b）和（c）知，AC和CB两段梁的弯矩皆为斜直线，只要确定线上两点，就可以确定这条直线。梁端处的弯矩均为零。另外根据式（b）在

处（即c截面左侧），

。根据（c）式，当

时 ，由此可绘出弯矩图如图20-13（d）所示。b＞a时，在集中力偶作用处的右

侧截面上的弯矩值最大。

例20-5 图20-14（a）为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图20-14（b）所示。试作轴的剪力图和弯矩图。

解 先由平衡方程式 和

分别求得支反力为：

在集中载荷的左、右两段梁的剪力和弯矩方程均不相同。对于c截面以左的梁，即

时，其剪力和弯矩方程为：

(a)

(b)

而对于C截面以右的梁，即

时，其剪力、弯矩方程为：

(c)

(d)

根据（a）、（c）两式，可绘出剪力图[图20-14（c）]；而根据（b）、（d）两式，则可绘出弯矩图[图20-14（d）]。

由图21-14可见，当b＞a时，在AC段梁的任意横截面的剪力值为最大，即 而集中载荷作用处的横截面上其弯矩值为最大，即

。

，

第五节 剪力、弯矩和分布载荷间的关系

由于载荷的不同，梁各截面的剪力和弯矩也不同，因而得出不同形式的剪力图和弯矩图。事实上，载荷、剪力和弯矩之间存在着一定的关系。如图20-12中，若将弯矩方程和剪力方程分别对x求导数，则得：

负号表示分布载荷是向下的。上面得到的关系实际是普遍存在的，下面就从普遍情况来推导这种关系。

在图20-15所示的梁中，用相距为dx的两截面m-n和m1-n1切出一微段[图20-15（b）]。设作用在m-n截面上的剪力Q、弯矩M为正，其方向如图示。

截面上的内力与作

用在m-n截面上的不同，分别以dQ和dM代表Q和M的增量，则作用于m1—n1截面上的剪力为Q+dQ，弯矩为M+dM。对于此微段梁而言，分布载荷和剪力、弯矩均为外力，考虑dx段的平衡：

（20-1）

这里规定分布载荷以向上为正。再对m1—n1截面形心o取力矩：

，

式中最后一项为高阶微量，与前n项相比可以略去，故得：

（20-2）

上式再对x微分一次，利用式（20-1）得到：

（20-3）

上式给出了q、Q、M间的微分关系。需要指出的是在推导式（20-1）到式（20-3）时，x轴以向右为正。

现在我们先说明上述微分关系在绘制Q、M图中的应用。由以上三式可知，将弯矩方程M（x）对x求导数，即得剪力方程Q(x)；将剪力方程Q(x)对x求导，即得分布载荷q（x）。故从x的幂次讲，M（x）比Q（x）高一阶，Q（x）又比q（x）高一阶。

式（20-1）表明剪力图在某点的斜率等于相应截面的分布载荷值。当某段有向下的分布载荷时（q为负），该段剪力图的斜率必为负，即在该段内剪力图为递减：反之，则剪力图为递增。

式（20-2）表明弯矩图在某点的斜率等于相应截面的剪力值。如在某截面Q=0，即 ，则弯矩图在该处取极值（指M图在此处的切线为水平方向）。在集中载荷P作用下，剪力图有突变，弯矩图的斜率亦应有突变，即弯矩图在该处有折角。

根据式（20-3）可判断弯矩图图形的凸凹。如某段有向下的分布载荷，则 即弯矩图是向上凸的曲线。

根据上述微分关系和上节所举例题，可以总结出Q、M图的下述规律。 第一，梁上某段无分布载荷时，则该段剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。

为负，

第二，梁上某段有向下的分布载荷时，则该段剪力图递减（\\），弯矩图为向上凸的曲线

（⌒）；反之，当有向下的分布载荷时，剪力图递增（/），弯矩图为向下凸的曲线（ 如为均布载荷时，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

）。

第三，在集中力P作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力P），弯矩图为折角，在集中力偶m作用处，弯矩图有突变（突变值等于力偶矩m）。剪力图无变化。

第四， 某截面Q=0，则在该截面弯矩有极值（极大或极小）。 下面举例说明其应用。

例20-6 外伸梁AD受载荷如图20-16（a）所示。试利用微分关系作剪力图及弯矩图。

O 72kN 60kN 20kN 14400kN·cm 11400kN·cm 88kN 8000kN·cm x

1600kN·cm 图20-16 Q

解 （1）求支反力：由平衡条件 和

可求得；

（2）作剪力图：根据梁上受力情况应分为AC、CB、BD三段。AC段无载荷，所以剪力图应为一水平直线。CB及BD段有向下的均布载荷作用，所以Q图为向下倾斜的直线，且两段斜率一样。在集中力作用处Q图发生突变，其突变值等于集中力的大小。这样，根据梁上受力情况便可看出Q图的大致形状如图20-16（b）所示。所以作剪力图只要计算下

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