梁弯曲时的强度条件(6)

下面综合考虑变形几何、物理和静力学三方面的结果。 首先将正应力分布规律的表达式（b）代入式（c）得：

(f)

式中E、ρ不随dA位置而变，故提到积分号前。SZ为截面对z轴的静矩（见附录）。由于

不可能等于0，必须Sz=0。故知z轴必为过截面的形心轴,因此中

性轴必通过截面的形心C。 把(b)式代入式(d)得：

(g)

式中 为横截面积的惯性积(见附录)。由于y轴为横截面的对称轴，故 自然满足。这时，y、z即为横截面的形心轴。

再以(b)式代入(e)式得:

即 =

式中 ，即截面对中性轴z的惯性矩(见附录)，故

（20-4）

由式（20-4）即可确定中性层的曲率。EIZ称为梁的抗弯刚度，因为此值大时曲率

小，故梁的弯曲变形也小。

以式(20-4)代入式(b)，最后求得：

（

20-5）

这就是梁横截面上的正应力公式。式中M为截面的弯矩，y为欲求应力点至中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的惯性矩。

C z x

y z y

σ·dA

图20-25

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；

上部纤维缩短而产生压应力。弯矩为负时，则与上相反。一般用式(20-5)计算正应力时，M与y均代以绝对值，而正应力的拉、压由观察判断。

式（20-5）是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向弯曲（即剪力、弯矩均不为零的情形），也可以足够精确地用来计算正应力。

式（20-5）虽然是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向弯曲（即剪力、弯矩均不为零的情形），也可以足够精确地用来计算正应力。

式(20-5)虽然是针对梁横截面有对称轴的情形推出的，但对于不对称截面(图20-25)，如果选取y、z轴是过形心C的主轴(附录Ⅰ)，则必有Sz=0,Iyz=0，上面(c)、(d)式都得到满足。再利用（e）式，得到的公式与式(20-5)是相同。只要使横向力位于截面形心主轴y与杆轴x所构成的平面内，即发生平面弯曲；另一形心主轴z是中性轴。这就使我们把公式

的适用范围推广到不对称

截面梁而外力作用面通过一个形心主轴的情形。当截面具有对称轴而外力位于对称平面时所发生的平面弯曲，只是这里所讨论的一种特例。

第九节 弯曲正应力的强度条件及其应用

由式（20-5）知梁的最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，故

=

(a)

(b)

y z y z

C C

b/

2

b/

2

h/

2

h/

2

d/

2

d/

2

图20-26

这里Iz/ymax是只决定于截面的几何形状和尺寸的几何量，以Wz表示，称为截面对于中性轴z的抗弯截面模量。于是

（20-6）

对于矩形截面[图20-26（a）]

对于圆形截面[图20-26（b）]，

对于各种轧制型钢，其惯性矩和抗弯截面模量可查型钢表（附录Ⅱ）。

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