泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间(8)

应用泛函分析(第二版)

存在相应一个矩阵A?(aij)n?m，使得若x???iei，则Tx???j?j，T:X?Y，

i?1j?1nm其中?j?i?1?anij?i(j?1,2,?,m)。

证明：对每个ei,Tei是Y中的元素，存在m个数ai1,ai2,?,aim，使得

Tei??aij?j

j?1m于是有

Tx?T(??iei)???iTei???i(?aij?j)

i?1i?1i?1j?1nnnm??(?aij?i)?j??(?j?j)

j?1i?1j?1mnm例2.44 表明，在两个有限维线性空间之间的线性算子均可在合适的基下通过矩阵表达。因此，线性代数所研究的矩阵本质上是有限维空间之间的线性算子。

本书的主要目的是研究无限维空间上的线性算子。

【定义2.19】 两个线性空间X与Y称为是同构的，是指存在一个线性算子T:X?Y是一一映射。

两个同构的线性空间维数相同，且代数结构一致。事实上，任何n维线性空间一定与Rn空间同构。（证明留作习题）。

习题2.5

1．设X是线性空间，A?X是非空子集，证明spanA是线性空间且满足对任一子空间M，若M?A，则M?spanA。

2．设M,N是线性空间X的两个子空间，证明M?N?{x?y:x?M,y?M}及M?N均是子空间。M?N是否是子空间？

3．设X,Y是两个线性空间，T:X?Y是线性算子，证明ker(T)和R(T)分别是X与Y的子空间。

4．证明：对欧式空间Rn，任意线性泛函f:Rn?R都惟一存在

a?{a1,a2,?,an}，这n个确定的实数，使对每个x?{x1,x2,?,xn}?Rn，都有

第二章 度量空间与赋范线性空间

f(x)??aixi。

i?1n5．下列函数集合按照函数的加法及数乘运算是否构成线性空间？ （1）[a,b]上所有次数?3的多项式全体； （2）[a,b]上所有次数?3的多项式全体； （3）[a,b]上满足x(a)?0的函数全体； （4）R上连续且周期为2?的函数全体； （5）R上一切单调函数全体。

6．设X是n维实线性空间，证明X与Rn同构。

2.6赋范线性空间

在前几节中我们在集合上引进了度量的概念，并且在度量的意义下研究了点列的收敛及其映射的性质。在泛函分析中，特别重要并非常有用的一类度量空间实赋范线性空间。在赋范线性空间中的元素可以相加或数乘（即进行线性运算），元素之间不仅有距离，而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量。

2.6.1 赋范线性空间的定义及例子

【定义2.20】 设X是线性空间，若对于X中每个元素x，按照一定法则对应一个实数x满足：

（1）x?0且x?0?x??； （2）x?y?x?y（3）?x??x(x,y?X)；

(??F,x?X)。

则称x为x的范数，X称为以?为范数的赋范线性空间。

对于赋范线性空间，我们可以用公式

?(x,y)?x?y

定义元素x与y之间的距离，容易证明?(x,y)满足距离的三个条件，因而X是一个度量空间。从而在赋范线性空间中邻域、开集、收敛性、完备性、可分性、列

应用泛函分析(第二版)

紧性等概念都有确切的定义。

称

X中的点列{xn}依范数收敛于x?X，是指

xn?x或简记为xn?x(n??)。 ?(xn,x)?xn?x?0(n??)，记为limn??完备的赋范线性空间称为Banach空间。

例2.45 欧氏空间Rn，连续函数空间C[a,b],Lp(p?1)空间,lp(p?1)空间在下列范数下均是赋范线性空间，而且是Banach空间，即

x?(?x),x?(x1,x2,?,xn)?Rn

i?1n122ix?maxx(t),a?t?bbp1px?C[a,b]

x?(?x(t)dt),x?Lp[a,b]

a?p?x???xn?,x?(x1,x2,?,xn,?)?lp

?n?1?这些范数导出的距离与前几节讨论的度量空间一致，因而是Banach空间。

注：对于同一线性空间可以用不同的方式引进范数，例如在Rn中也可以用

?1px?maxxi,1?i?nx?(x1,x2,?,xn)?Rn

来定义范数，这时，它仍是Banach空间。

例2.46 仅有有限项非零的所有实数列组成的集合?，它是S的子空间，也是线性空间，在?中定义范数为

??supai,???ai???

i?N则(?,?)是赋范线性空间，但不是Banach空间。

证明：?是赋范线性空间易证，仅需证?在范数导出的度量意义下不完备，取

??(n)??1,,,?,,0,???

?由于当n?m使，有

11?231n?(?(n),?(m))?1?0(m??) m?1所以?(n)是?中的Cauchy列，但它不收敛于?中的点。若不然，存在???，使

??第二章 度量空间与赋范线性空间

111??(n)???0(m??)，于是，求得数列?为??1,,,?,,??，这个数列的每一

n??23项均非零，因此???，矛盾。

C[a,b]按范数

x???x(t)dt?,x?C[a,b]bp1pa

也是一个不完备的赋范线性空间。

注：在线性空间中引入距离，使之成为距离空间，称为线性距离空间，若能导入范数x??(x,?)，使之成为赋范线性空间且由范数导入的距离和原距离一致时，称之为可赋范的，若线性距离空间(X,?)满足 （1）?(x,y)??(x?y,?)（2）?(?x,?)???(x,?)(?x,y?X)；

(???F,?x?X)；

则(X,?)是可赋范的（证明留作习题）

不可赋范的距离空间是存在的，例如数列空间S（2.1节例2.3），对x?S，如令x??(x,?)，则条件?x??x不能满足。事实上，如果x?(1,1,?)，则

12x?，而2x?。

23

2.6.2 赋范线性空间的性质

性质2.1 设X是赋范线性空间，xn?X,x?X若xn?x(n??)，则x是有界数列。

证明：因xn?x?0(n??)，所以对??1，存在自然数N，当n?N时，

??xn?x?1于是

x?x?xn?x?1?x

令M?maxx1,x2,?,xN,1?x，则对一切n有x?M，即xn有界。 性质2.2 设X中点列?xn??,yn?及数域F中数列??n?满足

????应用泛函分析(第二版)

xn?x,yn?y,?n??(n??),(x,y?X,??F)

则：

（1）加法连续 xn?yn?x?y(n??)； （2）数乘连续 ?nxn??x(n??)。

证明：（1）由xn?yn?(x?y)?xn?x?yn?y，得

xn?yn?x?y(n??)

（2）因xn?x(n??)，所以?xn?有界，?M?0，使xn?M，于是

?nxn??x??xxn??xn??xn??x

??nxn??xn??xn??x ??n??xn??xn?x

?M?n????xn?x?0(n??) 所以

?nxn??x(n??)

性质2.3 范数x是x的连续函数。

证明：由x?y?x?y，对???0，取???，则当x?y??时，有

x?y?x?y????，所以x是x的连续函数。

【定义2.21】 设X是一线性空间，?1与?2是X上的两个范数，如果

?1?0，则?1?0?xn2?2?0(n??)，称?1强于?2；如果

?0(n??)，称?1与?2等价。

性质2.4 ?1强于?2存在常数??0，使x2??x1(x?X)。 证明：若上述不等式成立，显然?1比?2强，充分性得证。

下面证明必要性，用反证法。若不等式不成立，则对任何自然数n，存在

xnxn，于是yn1?xn?X，使x2?nxn1，令yn?x2xn12?1?0(n??)，但n

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