泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间(2)

应用泛函分析(第二版)

(m)(0)(m)(0)(m)(0)(m)(0)?(x(m)?x(0))???xk?xk??x1?x1?x2?x2???xn?xn

??k?1n2??12所以，对i,(1?i?n)，当xi(m)?xi(0)(m??)时?(x(m)?x(0))?0(m??)。证毕。

同样我们也可以证明Rn中点列?xn?按距离式（2.1′）收敛于x(0)的充要条件是对于每个i,(1?i?n)，有xi(m)?xi(0)(m??)。

例2.8 C?a,b?空间中点列?fn?按式（2.3）度量收敛于f0?C?a,b?的充分必要条件是?fn?在?a,b?上一致收敛于f0。

证明：?由?(fn,f0)?0(n??),知对???0,N?当,n?N时，

maxfnt?(0)f?t?(即对任意),t??a,b?,当n?N时，fn(t)?f0(t)??,所以

a??tbfn在

?a,b?上一致收敛于f0。

?若?fn?在?a,b?上一致收敛于f0，则对???0,?N,当n?N时，对于

?t??a,b?恒有fn(t)?f0(t)??,从而maxfn(t)?f0(t)??,

a?t?b即?(fn,f0)?0(n??)。证毕。

若C?a,b?按式（2.4）定义度量，则C?a,b?就构成Lp?a,b?的子空间，令

xn(t)?1n(t?a) t??a,b?,(n?1,2,?) n(b?a)由勒贝格控制收敛定理，xn在Lp?a,b?中收敛于x(t)?0,显然但

???xn??C?a,b,??xn?不一致收敛于x(t)?0。

例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。

习题

2.1

1．对x,y?R，定义?(x,y)?(x?y)2,?(x,y)是R上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？

第二章 度量空间与赋范线性空间

2．对x,y?R，规定?(x,y)?x?y,证明(R,?)是距离空间。

3．把所有收敛数列的集合记为c，对x,y?c,x??xi?,y??yi?,(i?1,2,?),定义

?(x,y)?supxi?yi,证明(c,?)是距离空间。

i?N(??)4．设X是度量空间，在X中若xn?x,yn?yn。证明：

?(xn,yn?)?x(y。,

(m)(m),?,xn,?(n?1,2,?),及x1,x2,?,xn,??S，证明点列5．设x(m)?x1(m),x2?????x?收敛于x的充分必要条件是?x?依坐标收敛于x，即对每个自然数

(m)(m)i,xi(m)?xi(m??)

2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射

在第1章中,我们对Rn空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概

念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。

2.2.1 度量空间中的开、闭集

【定义2.3】 设X是度量空间，x0?X，点集{x|?(x,x0)? r?0是一个正数，

r,x?X}称为以x0为中心、以r为半径的开球，或x0的r邻域，记为Br(x0)或

Br(x0,r)；点集{x|?(x,x0)?r,x?X}称为以x0为中心、以r为半径的闭球，记为

Br(x0)或Br(x0,r)。

X中的点列{xn}收敛于x?X，用邻域的术语来说，就是：对于x的任意邻

域B(x,?)，存在自然数N，使当n?N时，xn?B(x,?)。

例2.9 设X是离散距离空间，x0?X，则B(x0,1)?{x0}，B(x0,2)?X，

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1B(x0,1)?X，B(x0,)?{x0}。

2B(2,1)?[2,3) 例2.10 设X?[0,1]?[2,3]，则B(2,3)?[2,3)，X是R的子空间，

11?{1}，B(,1)?(0,1)，B(,1)?[0,1]。

22设A是X的子集，x0是X中的一个定点，则x0与A的关系只能有如下三种 情况：

（1）在x0“附近”全是A的点； （2）在x0“附近”根本没有A的点；

（3）在x0“附近”既有A的点，又有不属于A的点。 根据以上情况，我们给出如下定义：

【定义2.4】 设X是距离空间，A?X，x0?X，如果存在x0的邻域B(x0,?)

?A，则称x0是A的内点；如果x0是X?A的内点，则称x0是A的外点；如果x0既非A的内点，有非A的外点，即x0的任何邻域内既有属于A的点，也有不属于

A的点，则称x0为A的界点或边界点；如果x0的任意邻域B(x0,r)都含有A?{x0}中的点，即B(x0,r)?(A?{x0})，??则称x0是A的聚点。

注：A的聚点不一定是A的内点，还可能是A的界点；其次，A的内点必属于A，

但A的聚点则可以属于A，也可以不属于A。由此可知A的界点不是聚点，便是孤立点。

X中的点，对A来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。

例2.11 若X为离散距离空间，A?X，则A中均为内点且为A的孤立点，X?A中的点均为A的外点。

【定义2.5】 设X是距离空间，G?X，如果G中每一点都是G的内点，则称G是开集。

例2.12 任何开球Br(x0)是开集。

证明：设x?Br(x0)，则?(x,x0)?r，令r1?r??(x,x0)，那么Br1(x)?Br(x0)，事实上，若y?Br1(x)，则?(x,y)?r1，由于

?(y,x0)??(y,x)??(x,x0)?r1??(x,x0)?r

所以y?Br(x0)。

第二章 度量空间与赋范线性空间

【定理2.2】 设X是度量空间，X中开集有如下性质： （1）空间X及空集?是开集； （2）任意多个开集的并是开集； （3）有限多个开集的交是开集。

证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。

设G1,G2,???,Gn是X中的有限个开集，即 G?G1?G2?????Gn??G

ii?1n对?x?G，及一切i(1?i?n)，有x?Gi，由于Gi是开集，所以存在ri?0，使

B(xi,ri)?Gi，取r?min{r1,r2,???,rn}，则对1?i?n，有B(xi,r)?Gi，可见B(xi,r)??Gi，所以x是G的内点，有x的任意性知，G是开集。证毕。

i?1n注：任意多个开集的交不一定是开集，例如Gn?(0,1?)?R(n?1,2,???)，

1n?Gi?1?n?(0,1]，(0,1]并不是R的开集。

对于度量空间X的子集A，A的聚点全体记为A?，称为A的导集，集合

A?A?A?称为A的闭包。

例2.13 设A?{1,,???,,???}?R，则A??{0}，A?{1,,???,,???}。

A是X的子集， 【定义2.6】 设X是距离空间，如果A的每一个聚点属于A，

则称A为闭集。 121n121n显然，A为闭集的充要条件是A?A。

【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设X是距离空间，A?X，若A是X的开集，则X?A是X的闭集；若A是X中的闭集，则X?A是开集。

证明：设A为开集，x?X是X?A的聚点，则x的任一邻域都有不属于A的点，这样x不可能是A的内点，从而x?A，即x?由于x的任意性，知X?AXA?，

是闭集。反之，设A为闭集，?x?X?A，若x不是X?A的内点，则x的任意邻域B(x,?)至少有一个点属于A的点，而且异于x，这样x是A的聚点，从而

x?A，和假设矛盾。证毕。

正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：

【定理2.4】 设X是距离空间，X中的闭集具有如下性质： （1）X及?是闭集；

（2）任意多个闭集的交是闭集；

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（3）有限多个闭集的并是闭集。

注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如 Fn?[,1?]，(n?3,4,???,)，则Fn是R中闭集，但

1n1n?Fn?3?n?(0,1)，(0,1)不是R中的闭集。

2.2.2 度量空间上的连续映射

【定义2.7】 设(X,?)与(Y,?1)是两个度量空间，T是X到Y的一个映射，

x0?X，若对???0，存在??0，当?(x,x0)??时，有?1(Tx,Tx0)??，则称T在

点x0连续；若T在中每一点x0都连续，则称T为X上的连续映射。

度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y?R时，映射就是度量空间上的函数。

例2.14 设(X,?)是距离空间，x0是X上一定点，对x?X，f(x)??(x,x0)是X到R上的连续映射（函数）。

事实上，对x,y?X，由下式

|f(y)?f(x)|?|?(y,x0)??(x,x0)|??(y,x)

即可证明是连续映射。

【定理2.5】 设X，Y是两个度量空间，T：X?Y，x0?X，则下列命题等价：（1）T在x0点连续；

（2）对???0，存在??0，当x?B(x0,?)时，有Tx?B(Tx0,?)； （3）对于X中任意点列{xn}，若xn?x0(n??)，则Txn?Tx0(n??)。 证明：(1)?(2) 显然；

(2)?(3) 由于xn?x0(n??)，对??0存在自然数N，当n?N时，

?(xn,x0)??，即xn?B(x0,?)，因此Txn?B(Tx0,?)，即?1(Txn,Tx0)??；

(3) 反证法，若T在x0点不连续，则存在?0?0，使对任意??0，存?(1)在x??X，且?(x?,x0)??，但?1(Tx?,Tx0)??0，特别取??1，(n?1,2,???)，则n

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