泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间(4)

应用泛函分析(第二版)

?(xn,xm)?sup|?j(n)??j(m)|??

j?N对每个j?N，也有|?j(n)??j(m)|??成立，这样对每个j存在?j?R，有

?j(m)??j(m??)。令x?{?1,?2,???,?n,???}，则x?l?且xk?x(k??)。

事实上，在|?j(n)??j(m)|??中令n??，得到对一切m?N，|?j(m)??j|??成立。

又因为xm?l?，因而存在实数km，使得对所有j，|?j(m)|?km成立。这样就有|?j|?|?j??j(m)|?|?j(m)|???km。这就证明了x?l?，由|?j(m)??j|??，可知对一切m?N，下式成立

?(xm,x)?sup|?j(m)??j|??

j?N所以xm?x(m??)，因而l?是完备的。

注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如C[a,b]按

Lp[a,b](p?1)空间的距离构成的度量空间是不完备的。

事实上，C[a,b]是Lp[a,b]的子空间。在(a,b)中取一点c，如取c?a?b，令 2xn(t)?atctan(n(t?c)),t?[a,b],n?1,2,???

则

????2,a?t?c?xn(t)?x0(t)??0,t?c

???,c?t?b?2且|xn(t)|??2(?t?[a,b])，由勒贝格控制收敛定理可以证明{xn}收敛于Lp[a,b]中

的函数x0，因而{xn}是Cauchy列，而xn?C[a,b]，所以{xn}是C[a,b]中的Cauchy列，但x0不可能对等于一个连续函数，故{xn}不收敛于C[a,b]中某个元，所以

C[a,b]作为Lp[a,b]的子空间是不完备的。

从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。

【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空

第二章 度量空间与赋范线性空间

间是完备的。

证明：设S是距离空间X的完备子空间，设x?S?，则存在

{xn}?Sx,n?x?X，(n??)，因为{xn}是收敛的，所以它是S中一Cauchy列，

又因为S是完备的，所以x?S，即S是闭的。

设X是完备的距离空间，S是X的闭子空间，设{xn}是S中的Cauchy列，则必是X中的Cauchy列，因X完备，故xn?x?X(n??)，所以x?S，而S是闭的，故x?S，这就证明了S是完备的。

类似于空间R上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。

【定理2.9】 设X是度量空间，Bn?Bn(xn,rn)(n?1,2,?)是X中一列以xn为中心，以rn为半径的闭球，则X是完备的充要条件是若Bn?Bn?1(n?1,2,?)且

rn?0(n??)，则必有惟一点x??Bn。

n?1?证明：?对?n,m?N，由xm?n?Bn，知

?(xn?m,xn)?rn,

由于rn?0(n??)，从而?(xn?m,xn)?0(n??)，因此，{xn}是X中的基本列，由于X是完备的，所以必有x0?X，使xn?x0(n??)。

再在式(2.6)中令m??，由距离函数的连续性得到

?(x0,xn)?rn(n?1,2,?)

因此x0?Bn(n?1,2,?)，从而x0??Bn。如果又有X中点y0??Bn，从而

n?1n?1??令n??，即得?(y0,x0)?lim?(y0,xn)?0。所以x0?y0，?(y0,xn)?rn,n?1,2,?，即?Bn中只有一点。

n?1??设{xn}是X中的基本列，由基本列定义知，对?k?1(k?1,2,?)存在k?12nk?N，当n,m?nk时，有

?(xn,xm)?在X中作一列闭球B(xnk,1 2k?111),k?1,2,?y?B(x,)时，由于 。当nk?1kk?122应用泛函分析(第二版)

?(xn,y)??(xn,xn)??(xn,y)?kkk?1k?1111?? 2k?12k?12k得知 y?B(xnk,所以 B(xnk,1) k211)?B(x,),k?1,2,? nk?1kk?12211另一方面，B(xnk,k)的半径k?0(k??)，则有惟一点

22?1 x0??B(xnk,k)

k?12从而?(xnk,x0)?0(k??)，所以?(xn,x0)?0(n??)。即X是完备的。 一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的

存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。

【定义2.12】 设(X,?)，如果存在满影射T:X? (X1,?1)是两个度量空间，

X1，使得对一切x,y?X，都有?1(Tx,Ty)??(x,y)，则称T是X到X1的等距映

射，称X与X1是等距的。

注：等距影射一定是同胚映射。

显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。

【定理2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间X，必存在一个完备的度量空间X0，使得X等距一个在X0中稠密的子空间X?，如除去等距不计，X0是惟一的。

由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。 例2.24 有理数全体Q按距离?(r1,r2)?|r1?r2|所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离?(r1,r2)?|x?y|所成的距离空间；P[a,b]是

[a,b]上全体多项式函数，按度量?(r1,r2)?max|x(t)?y(t)|所成度量空间是不完

a?t?b备的，它的完备化空间是C[a,b]；C[a,b]按Lp[a,b](p?1)空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是Lp[a,b]。

第二章 度量空间与赋范线性空间

2.3.3 度量空间中的列紧性

在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度量空间中。例如，在[??,?]上的三角函数系

{11111,cost,sint,?,cosnt,sint,?} 2?????是空间L2[??,?]中的一个有界集，但其中任意两个不同元素距离等于2，不可能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。

【定义2.13】 设X是度量空间，A?X，如果A中的每一点列都存在一个子列收敛于X中某一点，则称A为列紧集；如果A中的每一点列都存在一个子列收敛于A中某一点，则称A是紧集。

由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。

例2.25 X?R，A?(0,1]，{}?A，lim?0，但0?A。因此，A是列紧集，但不是紧集。

由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。

例2.26 X?Rn，A?Rn是有界集，则A是列紧集。

证明：{x(k)}?A，记x(k)?{x1(k),x2(k),?xn(k)}，由A有界知存在M?0，使

1n1n??n{xi(k)}?M(1?i?n)。对个数列{xi(k)}是有界的，对{x1(k)}有子列{x1(k1)}收敛，

{x2(k1)}仍是有界的，故又存在收敛子序列{x2(k2)}，{k2}是{k1}的子集。依次类推，

得到自然数集的子列{kn}，使{x1(kn),x2(kn),?xn(kn)}都收敛，因此{x(kn)}在Rn中收敛，即A为列紧集。

根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。

【定义2.14】 设X是度量空间，A?X是全有界的，如果对???0，存在

A中有限个点x1,x2,?,xn满足A??B(xi,?)。

i?1n【定理2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。

证明：设X是度量空间，则对??1存在{x1,x2,?,xn}?A，A?X是全有界的，使A??B(xi,1)，因此对一切x?A，有xk(1?k?n)，使?(x,xk)?1，所以

i?1n?(x,xn)??(x,xk)??(xk,xn)?1?max?(xk,xn)?1?M（M是有限数）

1?k?n应用泛函分析(第二版)

故A有界。

另一方面，若A全有界，对?n?，存在有限集

1nBn?{x1(n),x2(n),?,xmn(n)}(n?1,2,?)

?1使A??B(xi,)，令B??Bn，则B是可列集。任取x?A，存在某个1?k?mn，

n?1i?1nmn(n)使xk(n)?Bn?B，且?(x,xk(n))?1，说明B在A中稠密，故A可分。 n注：定理2.11逆命题不真。

【定理2.12】 如果A是度量空间X中的列紧集，则A是全有界集。 证明：若A不是全有界集，那么存在?0?0，使得A中任意有限个点为中心，半径为?0的球并不能盖住A。取x1?A，球B(x1,?0)不能盖住A，于是存在x2?A且x2?B(x1,?0)即有?(x1,x2)??0，同样B(x1,?0)?B(x2,?0)也不能盖住A，存在

x3?A且x3?B(x1,?0)?B(x2,?0)，既有?(x1,x3)??0，?(x2,x3)??0，如此继续下

去，得到A中点列{xn}满足?(xn,xm)??0(m?n)。可见点列xn的任何子列均不能收敛，这与A是列紧集矛盾。

【定理2.13】 如果X是完备的度量空间，则A是列紧集的充要条件是A为全有界的。

证明：必要性由定理2.12即得。

,2,?)，对?1?1存现证充分性：设A是全有界集，{xn}?A，取?k?(k?1在以A中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住A，所以必有某个球B(a1,1)中

1k1，同样存在以A中有限个点为211中心，为半径的球盖住A，所以必有某个球B(a2,)含有子列{xn(1)}的子列，

22含有{xn}的某子列，该子列记为{xn(1)}；取?2?记为{xn(2)}，如此进行下去，可得子列串为{xn(1)},{xn(2)},?，其中后一个是前一个的子列，且{xn(k)}?B(ak,)。从这一个子列串中重新选择一个子列{xn(n)}，即将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得

1kx1(1) x2(1) x3(1) x4(1) ? x1(2) x2(2) x3(2) x4(2) ?

? ? ? ? ?

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