第二章 度量空间与赋范线性空间
x1(n) x2(n) x3(n) x4(n) ?
? ? ? ? ?
我们来证明{xn(n)}是Cauchy列.事实上,对任意??0,取自然数N，使
2??，则对任何n,m?N，有 N{xn(n)}，{xm(m)}?B(aN,所以
1) N?(xn(n),xm(m))??(xn(n),aN)??(xm(m),aN)?2?? N即{xn(n)}是Cauchy列。由X完备，可知{xn(n)}是收敛列，证得A为列紧集。
注：在完备的度量空间中，集的列紧性和全有界性是一致的；在一般的度量空间中，列紧性强于全有界性，全有界性强于有界性；在Rn空间中三者是一致的。
现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧集上。
【定理2.14】 设A是度量空间X中的一个紧集，f是定义在A上的一个连续函数，那么f是有界的，且上下确界可达。
证明：先证f有界。若不然，则存在xn?A，使lim|f(xn)|??，由于A是紧
n??的，有{xn}子列{xnk}在A中收敛，即有x0?A，使xnk?x0。由于f在点x0连续，有f(x0)?limf(xnk)，从而f(x0)??，这是不可能的。所以f在A上是有界的。
k??记??supf(x)，由上确界定义，同样可以找到A中点列{xnk}，满足f(xn)???，
x?A1n由A紧性，存在子列{xnk}及x0?A，使xnk?x0(k??)，由f在点x0连续，得
f(x0)?limf(xnk)??，显然f(x0)??，于是f(x0)??。同理可证下确界可达。
k??关于判断重要空间C[a,b]中子集的列紧性有下述著名的Arzela-Asccoli定理。
【定理2.15】 集合A?C[a,b]是列紧的充要条件是下面两个条件成立：
max|f(t)|?M： （1）A是一致有界的，即存在常数M?0，使得每个f?A，
a?t?b （2）A是等度连续的，即对???0，存在??0，使对任意t1,t2?[a,b]，当
应用泛函分析(第二版)
|t1?t2|??及f?A时，|f(t1)?f(t2)|??成立。
该定理证明较为繁杂，这里从略。
习题2.3
1.设X?[0,1]?[2,3,?,n]，对x,y?X，?(x,y)?|x?y|，问：
（1）X是否完备； （2）X是否可分； （3） X是否全有界； （4）X是否列紧。
2.证明稠密性具有传递性即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中也稠密。
3.证明列紧集中的Cauchy列必是收敛列。
4.举例说明完备度量空间的连续像未必是完备的。
5.设X是度量空间，A?X，证明A在X中稠密的充要条件AC是无内点。 6.记l?{??{ai}:1?|a|??}，在l上定义度量为
1ii?1?i?1??(?,?)??|ai?bi|，??{ai}，??{bi}?l1
证明: l1是可分的且是完备的。
7.设A是列紧集且是闭集，证明A是紧集。
8.设{Fn}是一列非空紧集，若满足Fn??。 1?F2?F3??，则?Fi?1?9.设X是度量空间，x?X，A是X中紧集，记
?(x,A)?inf{?(x,y):y?A}
证明：当?(x,A)?0，那么x?A；如果将A换为列紧集，结论是否成立？
10.证明紧集的连续像是紧集。
11.设X是度量空间，A?X是紧集，B?X是闭集，记
?(A,B)?inf{?(a,b):a?A,b?B}
若?(A,B)?0 ，证明A?B??。
12.试证l?空间不是列紧的。 13.证明L?[a,b]空间是不可分的。
第二章 度量空间与赋范线性空间
2.4 Banach压缩映像原理
作为完备度量空间概念的应用，我们介绍压缩映像原理。压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据，是数学和工程计算中最常用的方法之一。
2.4.1 压缩映像原理
在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程
dy?f(x,y) （2.7） dx为例来说明这一点。求微分方程（2.7）满足初始条件y(x0)?y0的解与求积分方程
xy(x)?y0??f(x,y(t))dt （2.8）
x0等价。我们做映射
Ty(x)?y0??f(x,y(t))dt
x0x则方程（2.8）的解就转化为求y，使之满足Ty?y。也就是求这样的y，它经映射作用后仍变为y。因此，求解方程（2.7）就变为求映射T的不动点。这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的
不动点呢？在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。
例2.27 求Kepler方程x??sinx?a的解，其中?,a为已知常数，0???1。 解:做映射T:R?R，使Tx??sinx?a，求方程的解就转化为求映射T的不动点，即求一点?，使T???。任取一实数x0，做如下迭代序列
x0，x1?Tx0，x2?Tx1?T2x0，?，xn?Tnx0，?，
得 x1??sinx0?a
x2??sinx1?a
????
xn?1??sinxn?a
????
应用泛函分析(第二版)
由于 |xn?1?xn?||Tx?nTxsi?nnx??n1?|?| sxn?i1n| ??|sinxn?sinxn?1|??|xn?1?xn| 所以 |xn?1?xn|?|Txn?Txn?1|??n|x1?x0| 因而，对任何自然数m、n，n?m，有
|xn?xm|?|xn?xn?1|?|xn?1?xn?2|???|xm?1?xm|
?(?n?1??n?2????m)|x1?x0|
?m?|x1?x0| 1??因0???1，故当m??时，上式后部分极限为0，因此{xn}是R中的Cauchy列，所以???R，使l又T是连续映射，对xn?1?Txn，令n??，有??T?，imxn??。
n??故?为映射T的不动点，?即为所求Kepler方程的根。
这个根是惟一的，与x0选取无关。事实上，如果方程还有另一根?，
???sin??a则有
|???|?|?sin???sin?|??|sin??sin?| ?2?|sin???2cos???2|?2?|sin???2|
??|???|?|???|
这是不可能的，故???。
这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。
代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理，即压缩映象原理，压缩映象原理就是某一类影射不动点存在和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。
【定义2.15】 设X是一个度量空间，T:X?X是一个映射，称x?是T的不动点，是指Tx??x?。
【定义2.16】 设X是一个度量空间，T:X?X称为压缩映像，是指存在常数a??[0.1]满足?(TX,TY)?a?(x,y),(x,y?X)。
第二章 度量空间与赋范线性空间
从定义2.16可见，压缩映像一定是连续映射。因为若xn?x，由
?(Txn,Tx)?a?(xn,x)，得Txn?Tx。
【定理2.16】（Banach压缩映像定理） 设X是完备度量空间，T:X?X是压缩映像，那么T存在惟一的不动点。
证明：任取x0?X，作迭代序列xn?Txn?1(n?1)。为证?xn?是收敛仅需证明它是Cauchy点列，因为X是完备的。由于
?(x2,x1)??(Tx1,Tx0)?a?(x1,x0)
?(x3,x2)??(Tx2,Tx1)?a?(Tx1,Tx0)?a2?(x1,x0)????
?(xn,xn?1)??(Txn?1,Txn?2)?a?(xn?2,xn?3)???an?1?(x1,x0)
于是对任何自然数n及?，有
?(xn?p,xn)??(xn?p,xn?p?1)??(xn?p?1,xn?p?2)????(xn?1,xn)
?(an?p?1?an?p?2???an)?(x1,x0)
an(1?ap)??(x1,x0)
1?aan??(x1,x0) 1?a可见，?(xn?p,xn)?0(n??)，因此?xn?是Cauchy点列。从而存在X中x?使xn?x?。我们来证x?便是T的不动点，事实上由
?(Tx?,x?)??(Tx?,Txn)??(Txn,x?)
?a?(x?,xn)??(xn?1,x?) ?0(n??)
得?(Tx?,x?)?0，即?(Tx?,x?)?0，故Tx??x?。
最后来证惟一性。设另有一不动点y?，即有Ty??y?，因
?(x?,y?)??(Tx?,Ty?)?a?(x?,y?),0?a?1
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