高等数学（下册）期末考试试卷参考答案(4)

又?=0不是特征根，所以特解可设为y*?Ax?B 代入微分方程可得A=

17，B= 121443x故原方程的通解为y?c1e?c2e4x?1777x?, 又y?0??，y??0?? 1214414412?c1?c2?0?11?c?,c?则? ，解得 112223c?4c?12?2?故初值问题的解为y?14x17e?e3x?x? 212144????v?v?v??yxz,,四、1、由题设得l??222222222?v??????????v?vv?v?vv?v?vyzxyzxyz?x所以

??? ???u??l1??v?x?vy?vz222?u?v??u?v??u?v??

xxyyzz2、对所给方程组两端求微分得：

?udx?dy??xdu ?

dx?vdy?ydv?解以dx,dy为未知量的方程组得：dx?xvdu?ydvuydv?xdu，dy?

??uv?1???uv?1? ??xxv?yuy??,?? ?u1?uv?v1?uv五、设切点为?x,y?，由隐函数求导得y???3x?y3x?y?X?x? , 故切线方程为Y?y??x?3yx?3y令X?0得Y?y?x?3x?y?y?x?3y?; 令Y?0得X?x?

x?3y3x?y22注意到切点在曲线上，即3x?2xy?3y?1 则得三角形面积为：S?

154

11?x?3x?y???y?x?3y??= y?x?????2?x?3y??3x?y?2?x?3y??3x?y?要求S的最小值，只要求?x?3y??3x?y?的最大值，而 ?x?3y??3x?y?=3x2?10xy?3y2?1?8xy 令F?xy??3x2?2xy?3y2?1

???Fx??y?6?x?2?y?0?2由?Fy??x?2?x?6?y?0,得x?y?

4?22?F???3x?2xy?3y?1?0驻点唯一，而由实际问题知最小面积存在。故最小面积为S??22?1??4,4??4 ??六、令P?exsiny?y??,Q?excosy?x, 得

?Q?P?excosy?1 ?excosy?1，?x?y??连接BA,记L及BA所围区域为D，则由Green公式得：

I=

?L???BA???AB=

12?2??3???6????2d???dx=???17D2=?3?

七、作辅助曲面

?1?z?0:?2，取上侧 2x?y?1?由

?,?1所围成的立体域记为?，则由Gauss公式得：

I=

?????1????1??=

???1????1??x3dydz=3???x2dxdydz?0

? 球面坐标3?2?0?12d???d???2(co?s)2(si?n)2?2sin?d?=?

052(?1)n?2八、令un?(?1)n?1?n?1n?2un?1??limsin, 则limn??un??(?1)n?1n?1n?sinsin?n?2?1?1

???n?1所以原级数收敛且是绝对收敛的。

n?1

155

高等数学（下册）考试试卷（九）参考答案

?3exysin(zx)?2ysec2(xy2)2??????一、1、； 2、fxy(x0,y0)?fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)?0 xy3ecos?xz?x23、2?； 4、?sin?d?d?d?； 5、2+2； 6、-?R 7、；

1?x22**8、y?Y?y1 ?y2二、1、（C）； 2、（B）； 3、（B）； 4、（A）； 5、（D）； 6、（D）；7、（A）； 8、（B）

??1?三、先把f?x?延拓为g?x???0?1????x?0x?0 0?x??再把g?x?延拓成以2?为周期的函数G?X?，并且

G?X??g?x??f?x??1 （0?x??）

因为G?X?满足收敛定理的条件，所以G?X?的Fourier级数在G?X?的连续点

x?0?x???处收敛于G?X??f?x??1，在G?X?的不连续点处收敛于

G(x0?0)?G(x0?0)?0，x0?0,x0??

2又因为G?X?在（??,?）上是奇函数，于是

an?0 ?n?0,1,2,???

bn?2???0sinnxdx??1?(?1)?

?2n4?? =?(2k?1)??0?所以f?x?展开为正弦级数为f?x?=

k?1,2,?

4sin(2k?1)x ， 0?x?? ?n?1(2n?1)?? 156

在上式中，令x??2得：1=

?(?1)k?1?k?14, 所以

(2k?1)??(?1)n?1n?1?1?? 2n?14?fx?(x,y)?1?y?2x?021四、由?得D内的驻点M（,）

33?fy?(x,y)?x?2y?0 因为f(x,y)在有界闭区域D上连续，于是f(x,y)在D上必有最大值和最小值存在。

可微函数f(x,y)的最大值及最小值在驻点或D的边界上取得。

1，最小值为0 412在线段AB上，f(x,y)?f(1,y)?y?y(0?y?2)。最大值为，最小值为0

4在线段OA上，f(x,y)?f(x,0)?x?x(0?x?1)。最大值为

2在线段BE上，f(x,y)?f(x,2)?3x?x2?4(0?x?1)。最大值为?2，最小值为?4 在线段EO上，f(x,y)?f(0,y)??y2(0?y?2)。最大值为0，最小值为?4 又f?,???21??33?11，所以f(x,y)在D上的最大值为，最小值为?4。

33五、令D?(x,y)0?x?1,0?y?1，于是

???10f?x?g?x?dx??f?x?dx?g?x?dx=?dy?f?x?g?x?dx??dy?000001111110f?y?g?x?dx

=又

???f?x??f?y??g?x?dxdy

D11110000?f?x?g?x?dx??f?x?dx?g?x?dx=?=

DDdx?f?y?g?y?dy??dx?f?x?g?y?dy

000111???f?x??f?y??g?x?dxdy=???f?y??f?x??g?y?dxdy ?10所以

f?x?g?x?dx??f?x?dx?g?x?dx=

001112???f?x??f?y???g?x??g?y??dxdy

D 因为f?x?.g(x)在（0，1）上都是单调增加连续函数，所以 ?f(x)?f(y)??g(x)?g(y)??0 （??x,y??D）

故

?10f?x?g?x?dx??f?x?dx?g?x?dx?0

0011 157

即

?f?x?g?x?dx??f?x?dx?g?x?dx

000111六、令P?y2?6yf?x??x2,Q?y2?2xy?sinx?f??x??5f?x?，则P、Q在平面xoy内有一阶偏导数，且

?Q?P???cosx?f???x??5f??x??6f?x? ?x?y 由已知条件知：

?Q?P??0, 即f???x??5f??x??6f?x??cosx ?x?y 这是关于f?x?的二阶非齐次线性方程，其通解为

1?cosx?sinx? 1033 由f?0??1，f??0??2可得c1?,c2?

51032x33x1e??cosx?sinx? 所以f?x??e?51010七、如图 z x

f?x??c1e2x?c2e3x?

U

V y 根据复合函数求导法则

?z?z??f2??2??1??f3???2??f3?? ?f1??f2??1?1? ?f2??2?2?y?y八、如图 y ?22??? B ?2a,2a?

??

o?0,0? A?a,0? x ??L? OA?AB?BO 所以I??OA??????ABBO

a而OA的方程为：y?0,0?x?a, 所以

?OAex2?y2ds??exdx?ea?1

0???x?acos?AB的方程为??y?asin?

0????4, 所以

???ABex2?y2ds?ea???ds?AB?4aea

158

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