高等数学（下册）期末考试试卷参考答案

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

一、1、当0?a?1时，0?x2?y2?1；当a?1时，x2?y2?1；

2、负号； 3、

??d???dy?D01e?1?yeydx;3； 4、??2(t)???2(t)dt； 25、180?； 6、siny?Cx； x2x7、y?C1cos2x?C2sin2x?C3e?C4e?2x； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、

?u?u?f1??yf2?；?xg?(x?xy)； ?x?y?u?u?f(x?t)?f(x?t)；?f(x?t)?f(x?t)； ?x?t222y21?y2?y2?y2?4四、1、?dx?edy??dy?edx??yedy?(1?e)；

0x00022、2、I柱面坐标??2?0d??20dr?r3dz??122?0d??dr?12r3dz?22r2214?； 3yx五、令P??2,Q?x?y2x2?y2?Py2?x2?Q则，(x,y)?(0,0)； ?2?22?y(x?y)?x?P?Q,在D内连续。所以由Green?y?x?P?Q,在D内除O（0，0）?y?x*?

于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，

公式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，

外都连续，此时作曲线l为x?y??(0???1)，逆时针方向，并假设D为L及

?222l?所围成区域，则

I??L?????????llL??l????Green公式??(lD*?Q?P?)dxdy???2? ?x?yx2?y2??2六、由所给条件易得：

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f(0)?2f(0)?f(0)?0 21?f(0)f(x)?f(?x)?f(x)1?f(x)f(?x)f(x??x)?f(x)又f?(x)?lim =lim

?x?0?x?0?x?x1?f2(x)f(?x)?f(0) ?lim ?f?(0)[1?f2(x)] ??x?01?f(x)f(?x)?x即

f?(x)?f?(0)

1?f2(x)fn(x)?f?(0)?x?c即 f(x)?tan[f?(0)x?c] ?arcta又 f(0)?0 即c?k?,k?Z ?f(x)?tanf(?(0)x)

t2n?32n?1?nt?3?t2 七、令x?2?t，考虑级数?(?1) ?lim2nn??t2n?12n?1n?12n?1?当t2?1即t?1时，亦即1?x?3时所给级数绝对收敛；

当t?1即x?3或x?1时，原级数发散；

当t??1即x?1时，级数

?(?1)n?1n?1?1收敛； 2n?1当t?1即x?3时，级数

?(?1)nn?1?1收敛； 2n?1?级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

一、1、1； 2、-1/6； 3、

?20dy?yy/2f(x,y)dx??dy?242y/2f(x,y)dx ； 4、

2f?(0)； 35、?8?； 6、2(x?y?z)； 7、y???y??2y?0； 8、0； 二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；

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三、1、函数u?ln(x?y2?z2)在点A（1，0，1）处可微，且

?u?xA?1x?y?z22(1,0,1)?1/2；

?u?y?u?zA?1x?y?z1x?y?z2222?yy?zzy?z?22(1,0,1)?0；

A??22(1,0,1)?1/2

而l?AB?(2,?2,1),所以l?(,?

2321,),故在A点沿l?AB方向导数为： 33?u?zA?u?lA??u?xA?cos?+

?u?yA?cos?+?cos?

?12211??0?(?)???1/2. 23323??fx??2xy(4?x?y)?xy(?1)?02、由?得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)?4， 2f?x(4?x?2y)?0??y 又f(0,y)?0,f(x,0)?0

32 而当x?y?6,x?0,y?0时，f(x,y)?2x?12x(0?x?6)

令(2x?12x)??0得x1?0,x2?4

于是相应y1?6,y2?2且f(0,6)?0,f(4,2)??64.

?f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)?4，最小值为f(4,2)??64.

32?0?x?1?四、1、?的联立不等式组为?:?0?y?x?1

?0?z?1?x?y?所以I??10dx?1?x0dy?1?x?y01?xdz1111?dx[?]dy 32??0024(1??x?y?z)(1?x?y) ?1113?x15(?)dx?ln2? ?02x?14216141

2、在柱面坐标系中

132?2?[hf(r)r?hr]dr d?dr[z?f(r)]rdz?0?0?0?03dF11?2?[hf(t2)t?h3t]?2?ht[f(t2)?h2] 所以dt33 F(t)?2?th22t五、1、连接OA，由Green公式得：

?I??L??OA??OA??L?OA??OA

Green公式?12xx?m?a (ecosy?ecosy?m)dxdy?0??8x2?y2?ax,y?0?z?a2、作辅助曲面?1:?2 ，上侧，则由Gauss公式得： 22?x?y?a I???+????1???=

?1???1?????

?1 =

x2?y2?z2,0?z?a???2(x?y?z)dxdydz?x2?y2?a22a??dxdy

=2?a0dz1434?2?zdz??a???a zdxdy??a???02x2?y2?z24a六、由题意得：3??(x)?2?(x)?xe2x????(x)

即???(x)?3??(x)?2?(x)?xe 特征方程r?3r?2?0，特征根r1?1,对应齐次方程的通解为：y?c1e?c2e

*2x又因为??2是特征根。故其特解可设为：y?x(Ax?B)e

x2x22xr2?2

代入方程并整理得：A?即 y?*1,2B??1

1x(x?2)e2x 2x2x故所求函数为：?(x)?c1e?c2e?1x(x?2)e2x 2

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高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

一、1、yey2z2?xex2z2； 2、5； 3、

?1?1dx?1?x2?1?x2dy?1?x2?y20f(x,y,z)dz；

4、f(0,0);5、2?a3； 6、???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?x?y?z???Gauss公式； 7、Ax2?Bx?C 8、P?0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dy?fx?(x,t)dx?ft?(x,t)dt，Fx?dx?Fy?dy?Ft?dt?0

由上两式消去dt，即得：

dyfx??Ft??ft?Fx? ?dxFt??ft?Fy?四、设(x,y)为椭圆x2?4y2?4上任一点，则该点到直线2x?3y?6?0的距离为

d?6?2x?3y13 ；令L?(6?2x?3y)2??(x2?4y2?4)，于是由：

?Lx??4(6?2x?3y)?2?x?0? ?Ly??6(6?2x?3y)?8?y?0

?22?L??x?4y?4?083838383得条件驻点：M1(,),M2(?,),M3(?,?),M4(,?)

35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin?6?2x?3y13M1?13即为所求。 1322??z?x?y五、曲线?在yoz面上的

22??x?y?2y?z2?2y投影为??x?0(0?y?z)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

??0?y?2Dyz:?， y ??0?z?2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。

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