高等数学（下册）期末考试试卷参考答案(3)

高等数学（下册）考试试卷（六）参考答案

elnye21x2(1?y)f(x,y)dx??dy?1f(x,y)dx； 一、1、；2、6i?3j?0?k；3、?dy?10lnyelny1?y22 4、

12222?2abc； 5、1?z?x(x,y)?zy(x,y)dxdy； 6、?4?abc；

8?

(?1)n2n 7、c1(y1?y2)?c2(y2?y3)?y1； 8、?n?1x,n?04x?ay?b,) ，则 z?cz?cx?2

二、1、B； 2、D ； 3、A； 4、C； 5、D； 6、C； 7、C； 8、A。 三、令G?F(?? Gx111??Fu?，G??F，G??[Fu??(x?a)?Fv??(y?b)] yvz2z?cz?c(z?c) 于是过任意点P(x0,y0,z0)处的切平面方程是：

Fu?(P)F?(P)1(x?x0)?v(y?y0)?[(x0?a)Fu?(P)?(y0?b)Fv?(P)](z?z0)?0 z0?cz0?c(z0?c)2取x?a,y?b,z?c，上式被满足，即切平面过定点(a,b,c)

?fx??2(x?1)?0四、?得f(x,y)在D内的驻点M(1,2)，

?f?2(y?2)?0?y令L?(x?1)?(y?2)?1??(x?y?20)

2222??L??x?2(x?1)?2?x?0???L解方程组??2(y?2)?2?y?0得条件驻点M1(2,4),??y??L?x2?y2?20?0????M2(?2,?4)

于是由f(M)?1,f(M1)?6,f(M2)?46得所求的最大值为46，最小值为1。

?1?x?2五、如图D:? 2?y?x?y

149

所以I??21dy?sinyy2?xdx 2 2y ?

?21[?2y?cos?x2y21 ]yydy

?? ?六、令r?2?3?21ycos?y22?y4?y2dy??[ysin?2cos]1 2??2?20 1 2 4 x 4?(2??)。

xyzQ?R?，， 333rrrx2?y2?z2，P?则

?P??xr3?3xr2?r6x222r?1?3x, 同理?Q?1?3y；?R?1?3z

?zr3r5?yr3r5r3r5(r?0)

于是

?P?Q?R?0???z?x?y作辅助曲面??:x2?y2?z2??2，内侧，以?表示由?与???使得??位于?的内部，所围成的立体域，??表示??所围成的立体域，则

I????????????????????????

?? Gauss公式???(??P?Q?Rxdydz?ydzdx?zdxdy ??)dV???3?x?y?z???1 ?0?1?3??xdydz?ydzdx?zdxdyGauss公式????3???3dV????343???=?4? 3?3七、因为limarctanx?1，所以被积函数连续。

x?0x?1又(arctanx)????(?1)n?x2n,21?xn?0x?1

??xdx(?1)n2n?1n2n?arctanx????(?1)?xdx??x,01?x20n?0n?02n?1xx?1

150

于是f(x)??x0nx?(?1)arctanxdx??(?x2n)dx

0xn?02n?1 ???n?0?x0?(?1)n2n(?1)n2n?1xdx???x,22n?1n?0(2n?1)x?1

八、方程变形得：

令u?dyyy??2ln，这是齐次方程。 dxxxydydududx?u?x得：，代入方程得：?? dxdxxu(2lnu?1)x由原方程知x?0,y?0，因此u?0，对上式积分，得：即2ln1ln2lnu?1??lnc1x 2y1?1?22xc1x?2ln11(?1)2cx2y1?1?2,c??c12 xcx故方程的通解为：y?xe

高等数学（下册）考试试卷（七）参考答案

1???一、1、(i?j?2k)； 2、yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y)；

314113、?R(2?2)； 4、12a； 5、3； 6、(?2,4)；

24ab?2x7、y?(x?c)cosx； 8、y?c1e?c2e2x

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、B； 6、C； 7、D； 8、A 三、1、?x2?y21?1?x2?y2x2?y21?1?x2?y2?(x2?y2)(1?1?x2?y2)1?(1?x2?y2)2??(1?1?x2?y2)

limx?0y?0??lim(1?1?x2?y2)??2

x?0y?0?zyf?(x2?y2)?2x2xyf?2、 ?????xf2(x2?y2)f2?zf(x2?y2)?yf?(x2?y2)?(?2y)2y2f?1 ??? 2222?yff(x?y)f四、1、如图，积分域D在极坐标中

151

??0????4可表示为D:? y y = x ??sec????2sec?D ?2sec?sin???4?d? 于是I??d??0sec?cos?14n??3 ??ta?307?sec3?9?04?2se?cse?cx 743?sec?d? d???tan03?o ?7(22?1) 922 2、设P0(x0,y0,z0)为抛物面z?1?x?y上的任意一点，则点P0处的切平面方程为：

22 z?z0?2x0(x?x0)?2y0(y?y0),且z0?1?x0?y022?z?2xx?2yy?x?y?1?000022 该切平面与曲面z?x?y的交线为：?，

22??z?x?y 消去z得：(x?x0)2?(y?y0)2?1，故所求体积为： V?2222[2xx?2yy?x?y?1?(x?y)]d? 0000??(x?x0)2?(y?y0)2?1 ?(x?x0)2?(y?y0)2?122[1?(x?x)?(y?y)]d? 00?? 令x?x0??cos?,y?y0??sin?得：V??Q?2x2y?y2?3

2?0d??(1??2)?d??01?2,

即体积为定值。 五、令P?2xy?x?2,则

2?P?4xy,?y?Q?P?Q?4xy, 所以?,?x?y?x?(x,y)?R2

因而Pdx?Qdy是某二元函数u(x,y)的全微分。

222又Pdx?Qdy?(2xy?x?2)dx?(2xy?y?3)dy

?d(xy?22121x?2x?y3?3y?c) 23 152

所以u(x,y)?xy?2212110,0)x?2x?y3?3y?c, 因而I?u(x,y)( ??6(1,1)236六、设?1:??z?0?x?y?4?1?122，取上侧，则

I??????????????12?????

?1 Gauss公式? ??3???3(x??y2)dV???3y2zdxdy

?1?2?0d??d??024??20???dz?0??6???3(4??2)d???32?

202七、由题设条件，易得f(0)?1

因为

2x?y2?4t2??2t2?2t?12?2f(x?y)d?极坐标?d??f()?d??2??0?f()d?

002224?t22t所以f(t)?e?2???f()d?

0222?因而f?(t)?8?te4?t?8?tf(t)，即f?(t)?8?tf(t)?8?te4?t 这是一个关于f(t)的一阶线性方程 故f(t)?e?8?tdt22?8?tdt(c??8?te4?t?e?dt)?e4?t(c?4?t2)

又f(0)?1，即1?c，故f(t)?e4?t(1?4?t2)

2高等数学（下册）考试试卷（八）参考答案

一、1、

21123????； 3、πR3； 4、?1?sin1?； ?1,?2,1?； 2、n??0,,?96255???f?n??x0?225、461； 6、； 7、an?； 8、R?

33n!二、1、B; 2、C; 3、C; 4、D; 5、C; 6、A; 7、D; 8、D

三、对应齐次方程的特征方程为??7??12?0，特征根为?1?3,?2?4.

于是对应齐次方程的通解为y?c1e3x2?c2e4x

153

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