高等数学（下册）期末考试试卷参考答案(2)

A?2Dyz??1?(22y?x2?xdydzdz)?()2d??2???2?dy??8

1022?y?z2y?y2y?yDyz2222六、将?分为上半部分?1:z?1?x?y和下半部分?2:z??1?x?y，

?1,?2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2?y2?1,x?0,y?0, 于是：

??xyzdxdy??1Dxy??1?x2?y2dxdy

1； 15极坐标

???02d???2sin?cos??1??2??d??0122xyzdxdy?xy(?1?x?y)(?dxdy)??????2Dxy1， 15 ?I????1???=

?22 15七、因为

df(cosx)?1?sin2x，即f?(cosx)?1?sin2x

d(cosx)13x?c 322 所以f?(x)?2?x ?f(x)?2x?2八、?f(x)?ln[(1?x)(1?x)]?ln(1?x)?ln(1?x)

(?1)n?1n 又ln(1?u)??u,u?(?1,1]

nn?1?(?1)n?1n?(?1)n?12nx??x,x?(?1,1] ?f(x)??nnn?1n?1?(?1)n?1n ??x(1?xn),nn?1?x?(?1,1]

高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案

一、1、dx?2dy；2、x?2y?3z?6； 3、

1532?； ； 4、32?； 5、

202 144

6、?a； 7、y?2(2?x)e?x；

2338、a0? bk?????1?f(x)12dx；ak??2??f(x)coskxdx??k?1,2,?n,?

f(x)sinkxdx????1?k?1,2,?n,?

二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C 三、??uxyyy?f?()?g()?g?() ?xyxxxy2y?2u1xyyyy ?2?f??()?2g?()?2g?()?3g??()

xxyyxx?xxxy2y1xf??()?3g??() ?

xyyxyy?2uxx1y1y ??2f??()?g?()?g?()?2g??()

xx?x?yyxxxxy ??yyxx?????g() f()22xxyy?2u?2u 故x2?y?0

?x?y?x四、设M(x0,y0,z0)是曲面F?xyz?c?0上的任意点，则x0y0z0?c3，

在该

3n?(Fx?,Fy?,Fz?)M111c3c3c3?(y0z0,z0x0,x0y0)?(,,)?c3(,,)

x0y0z0x0y0z0111(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)=0

y0x0z0于是曲面在M点处的切平面方程为：

即

xyz++=1 3x03y03z0因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

145

V?1993x0?3y0?3z0?x0y0z0?c3 622这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面z?4?x2?y2，柱面(x?1)2?y2?1及平面z?0之间的立体体积为

定值，所以只要介于切平面?，柱面(x?1)2?y2?1及平面z?0之间的立体体积V为最大即可。

设?与z?4?x2?y2切于点P(x0,y0,z0)，则?的法向量为n?(2x0,2y0,?1)，且

22z0?4?x0?y0，切平面方程为：2x0(x?x0)?2y0(y?y0)?(z?z0)?0 22 即z?2x0x?2y0y?4?x0 ?y0? 于是V?(x?1)2?y2?1??zd?极坐标?2??222?（2x0?cos??2y0?sin??4?x0?y0)d?

22 ??(2x0?4?x0?y0)

??V??x??(2?2x0)?0?0 则由?，得驻点（1，0）, 且V?V???2?y0???y0(1,0)?5?,z0?5.

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面?为：z?2x?3 六、联接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，则 I??L??BA??BA??L?BA??BAGreen公式???(excosy?1?excosy?1)dxdy?0

D1?2???22?4?

2七、令y??z(y)，则y???zdzdz22?z?0 ，于是原方程可化为：zdy1?ydy2??dydz21?y??0，其通解为z?c1e 即?c1(y?1)2 dy1?y ?

dydy1?c1(y?1)2 即?cdxy?1?, 故原方程通解为： 1dxc1x?c2(y?1)2146

八、易求得该幂级数的收敛区间为(?1,1).

??1xnxn ?x?(?1,1)，令S(x)??，则S?(x)??()???xn?1?1?xnnn?1n?1n?1?注意到S(0)?0，?S(x)??x0S?(x)dx??dx??ln(1?x) 01?xx高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案

ax?1y?1z?1dx?(1?xez?y?x)dym(a?x)2???一、1、；2、；3、；4、 ef(x)(a?x)dx；z?y?x?0169?11?xe 5、对任意闭曲线l，Pdx?Qdy?0或

l??P?Q?或?u(x,y),使得du?Pdx?Qdy； ?y?x4 6、2?a； 7、y?ce?3x1?e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A 三、1、

zzz?u?u?u?yzxy?1；?yzxylnx?lny ?xyyz?1zlnx；?x?z?y2、??u1?f1??xy?ux1??2f1??f2??yzy?uy??2f2? ?zz ?du??u?u?u1x1ydx?dy?dz?f1?dx?(?2f1??f2?)dy?2f2?dz。 ?x?y?zyzyz四、1、因为积分域D关于y?x对称，所以

I???Daf(x)?bf(y)af(y)?bf(x)d????d?

f(x)?f(y)f(y)?f(x)D1af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)11[??d????d?]=??(a?b)d??(a?b)?R2 2Df(x)?f(y)f(y)?f(x)2D2D??故I?2、I?222(x?y?z)dV?2???x(y?z?1)dV?2???yzdV ????+2???ydV?2???zdV????dV

??? 因为?关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变量

147

为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：

I?432222?3zdV??R (x?y?z)dV?dV?????????3??? ?6?R0dz434322zdxdy??R??R(1?R)。 ??33x2?y2?R2?z2五、令P?2xy(x4?y2)?,Q??x2(x4?y2)? 则

?P?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1，?y?Q??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1 ?x 由已知条件得

?Q?P?，即有(x4?y2)(??1)?0，所以???1 ?x?y 所求的一个原函数为 ： u(x,y)??(x,y)(1,0)xy2xyx2x2y dx?dy?0dx?dy??arctan4242422??10x?yx?yx?yx六、易知

1?x2?(1?x)21 ???3332(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)?11n?1? ?()?nx(?1?x?1) ??21?x(1?x)n?1?1 又??xn1?xn?0??11n?2n?1? ?()?n(n?1)x?(n?1)nx??32(1?x)(1?x)n?2n?1?1?xn?1 ??(n?1)nx??3(1?x)n?12?nxn?1?n?1??n2xn?1 ， 其中

n?1?(?1?x?1)

七、方程的特征方程为：r?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3，

故方程的通解为：y?(c1?c2x)e3x

148

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