材料力学答案单辉祖版全部答案(9)

对于铜管，

T16(11.6N?m)6?s,max?s??7.38?10Pa?7.38MPa?[?s] 3Wpsπ(0.020m)将式(d)和式(a)代入式(c)，得 或写成

TlMlTil?e?0 GIpiGIpeGIpi?c,max?Tc,maxWpc16(100N?m?11.6N?m)7??1.70?10Pa?17.0MPa?[?c]4?0.035m??π(0.040m)3?1???????0.040m??

由此得

TeM0?Ti? IpeIpi4-28 将截面尺寸分别为?100mm×90mm与?90mm×80mm的两钢管相套

合，并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。

解：1. 求解静不定

此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为

Te?联立求解方程(e)与(b)，得

IpeIpi(M0?Ti)?1.395(M0?Ti)

(

Ti?Te?0.5825M0?1.165kN?m

2. 计算最大扭转切应力

内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 (a)

?0?M0l GIpi?i,max?Ti16?1165N??2.17?107Pa?21.7MPa 342Wpiπ?0.090[1?(8/9)]m去掉M0后，有静力学关系

几何关系为

物理关系为

?e,max?Ti?Te

(b)

Te16?1165N7??1.725?10Pa?17.25MPa Wpeπ?0.1003?(1?0.94)m24-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀

?i??e??0

地排列在直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为?=10mm，轴所承受的扭力偶矩(c)

为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[?]=100MPa，许用挤压应力[?bs]=300MPa。试确

TlTl?i?i， ?e?e

GIpiGIpe定螺栓的直径d。

(d)

41

题4-29图

解：1. 求每个螺栓所受的剪力 由 ?MDx?0， 6Fs(2)?M 得

FMs?3D 2.由螺栓的剪切强度条件求d FsA?4M3πDd2?[?] 由此得

d?4M3πD[?]?4?5.0?103m23π?0.100?100?106?1.457?10?2m?14.57mm 3.由螺栓的挤压强度条件求d ?bs?Fb?d?M3D?d?[?bs] 由此得

d?M3D?[??5.0?103m?5.56?10?3m?5.bs]3?0.100?0.010?300?10656mm

结论：最后确定螺栓的直径d?14.57mm。

4-30

图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1

的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。

题4-30图

解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变?i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比，即

?i?kri

式中，k为比例常数。

利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为

?i?Gkri

而剪力则为

FS,i?GAkri

最后，根据平衡方程

22 ?MDO?0, 6GAk??1??D2??2???4GAk??2???M 得

k?2M8MGA(3D22?22 1?2D2)Gπd(3D21?2D2)42

于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为

由图中可以看出，

所以，

4MD1 ?1?22πd(3D12?2D2)r1?r4?60?10?3m， r2?r3?20?10?3m

?2?4MD2 2πd2(3D12?2D2)4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切

应力[?]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。

πd2π Ip?(2r12?2r22)?(10?10?3m)2(602?202)(10?3m)2?6.28?10?7m4

42代入式（a），得

(9?103N)(150?10?3m)(60?10?3m) ?????1.289?108Pa ?746.28?10m 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为

?max???2????2?(2.87?107Pa)2?(1.289?108Pa)2 ?1.32?10Pa?132MPa?[?]8

4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，?=3mm，?12= 4mm，

T=6 kN·m，试求最大扭转切应力。

题4-31图

解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。

在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为

FF9?103N ?2??2.87?107MPa 2?32πdπdπ(10?10m)44在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为

???

题4-34图

解：截面中心线所围面积为 (a)

由此得

43

Flr????1

IpΩ?π(a??1?2b??22?2)(4)

Ω?π(0.200?0.0015?0.002)(0.160?0.0042)m?2.41?10?2m2

4

?max?M 22πR0?1于是得最大扭转切应力为

6?103N7?max???4.15?10Pa?41.5MPa

2??min2?2.41?10?2?0.003m2T 2. 扭转变形计算

用相距dx的两个横截面，与夹角为d?的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为

由此得整个上半圆管的应变能为

4-35 一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面

如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为?1与?2，且?1

dVε1??122G1??1R0d?dx

Vε1?? l π 0 0?M2l?1R0d?dx? 32G18πG1R0?1?12同理得整个下半圆管的应变能为

根据能量守恒定律，

题4-35图

解：1. 扭转切应力计算

闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 现在

所以，最大扭转切应力为

2Ω?πR0

M2lVε2? 38πG2R0?2 于是得

M?M2lM2l?? 3328πG1R0?18πG2R0?2??T 2Ω? ??Μl?11???? 3G?G?4πR0?1122?4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、

材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。

?min??1

44

题4-36图

解：由于三者中心线的长度相同，故有 2?(2b?b)?4a?πd 由此得

b?πd6， a?πd4 据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω，其值依次为

Ω22d21?2b?π18 Ω2π2d22?a?16 Ωπd23＝4 依据

?Tmax?2Ω? min可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为

?矩max:?方max:?圆max?1.432 :1.273 :1

依据

??Tlds4GΩ2??

可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为

?矩:?方:?圆?2.05 :1.621: 1

结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积Ω，这样对强度和刚度均有利。

4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。

已知许用切应力[?]=60MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.5(°) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。

题4-37图

解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

?Tmax?2Ω??[?]

min得

T?2Ω?min[?]?2?0.100?0.300?0.003?60?106N?m

?1.080?104N?m?10.80kN?m由扭转刚度条件

??Tds4GΩ2?δ?[?] 得

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