材料力学答案单辉祖版全部答案(4)

及

3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ?0，得 由此得

Δl1Δl2Fl22ctan2θΔBy???(?)

sinθtanθEA1sin2θsinθA2?2(2cos2θsinθ?cosθsin2θ)2ctanθ?csc2θ??0 22A1A2sin2θsinθ

解：两杆的轴力均为

题3-12图

FN?2A1cos3θ?A2(1?3cos2θ)?0

F 2cos?n轴向变形则均为

于是得节点C的铅垂位移为

将A1与A2的已知数据代入并化简，得

Fl? ?l??l?l?????2Acos??BB?lFnl ΔCy??nnn?1cos?2ABcos??ncos3θ?12.09375cos2θ?4.03125?0

解此三次方程，舍去增根，得

由此得θ的最佳值为

cosθ?0.564967

3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均

相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

θopt?55.6?

3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，

材料的应力应变关系为?n=B?，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

16

题3-13图

解：1.求各杆轴力 由?Fx?0，得

FN2?0

由?Fy?0，得

FN1?FN3?F2?10kN 2．求各杆变形

Δl2?0

ΔlFN1lEA?10?103?1.000200?109?100?10?6m?5.0?10-41?m?0.50mm?Δl33．求中点C的位移 由图3-13易知，

图3-13

Δx?Δl1?0.50mm(?)， Δy?Δl1?0.50mm(?)

3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，

试求节点B与C间的相对位移?B/C。

题3-14图

解：1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

17

FN1?FN2?FN3?FN4?F （拉力）2题3-15图

(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为

该桁架的应变能为

FN5?F （压力）于是得各杆得变形分别为

FN1?221F， FN2??F， FN3?F 222?l1??l2??l3??l4??l5? 2. 位移分析

Fl (伸长) 2EA

F?2l2Fl? (缩短) EAEA2FN112212F2l22?1iliVε???(F?l?2?Fl)?()

2EA2EA2242EA4i?13如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段?l3与?l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。

可以看出，

依据能量守恒定律， 最后得

图3-15

?l5?2FlFl?2?2FlΔB/C?2?Ci?iC'??2??2?l3??2 ?????2?22EAEA???2EA???3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载

荷作用点沿载荷作用方向的位移。

FΔ?Vε 22F2l22?1(22?1)Fl (?) Δ??()?F2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：

i 1 2

18

FNi li 2FNili F 0 l F2l 0 l

3 4 5 F F ?2F l F2l i 1 2 3 4 5 l 2l F2l ?于是，

22F2l (3?22)F2l FNi 2F/2 2F/2 2F/2 2F/2 li 2FNili 2FN(3?22)F2liliVε???

2EA2EAi?15?F l l l l 2l F2l/2 F2l/2 F2l/2 F2l/2 2F2l (2?2)F2l ?

由表中结果可得

依据 得

依据能量守恒定律， 可得

FΔ?Vε 2Δ?(3?22)Fl (?)

EA2FN(2?2)F2liliVε???

2EA2EAi?153-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试

用能量法求节点B与C间的相对位移?B/C。

W?V?

ΔB/C?(2?2)Fl (??)

EA3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为?，长度为l，

左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-16图

解：依据题意，列表计算如下：

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题3-17图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

22lFNFNV???dx??dx

02EA(x)02E?b(x)l(a)

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

b(x)?b1?b2?b1x l

题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

将上式代入式（a）,并考虑到FN?F,于是得

b1F2F2l Vε??dx?ln2

02E?b?b2Eδ(b2?b1)b1δ?b1?21x??l??设板的轴向变形为?l，则根据能量守恒定律可知，

l?F?0, F?F?FxAx?FBx?0

或 由此得

FΔl?Vε 2bFΔlF2l?ln2 22Eδ(b2?b1)b1一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

bFlΔl?ln2

Eδ(b2?b1)b1

AC，CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为

图3-19a

3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压

刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。

得

FN1?FAx, FN2?FAx?F, FN3?FAx?2F

?l?FAxa?FAx?F?a?FAx?2F?a???0 EAEAEAFAx?F?0

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