材料力学答案单辉祖版全部答案(8)

MA?MB?M

(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。

变形协调条件为

利用叠加法，得到（x从左端向右取）

?B?0

(

?B??B,m??B,MB?? a 0MB(2a)ma22MBam(a?x)dx??? GIpGIp2GIpGIp(

变形协调条件为

利用叠加法，得

图4-21b

将式(d)代入式(c)，可得 进而求得

(a)

MB?ma 43ma 4?B?0

MA?ma?MB??B?MaM(2a)MB(3a)?? GIpGIpGIpM的转向亦与m相反。

(b) A将式(b)代入式(a)，可得 进而求得

4-22 图示轴，承受扭力偶矩M=400N?m与M=600N?m作用。已知许用

1

2

1MB?M

3切应力[?]=40MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。

1MA?M（转向与MB相反）

3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到

MA?MB?ma 2解：1.内力分析

题4-22图

MA和MB的转向与m相反。

(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，MB的转向与m相反。

36

此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。

图4-22

利用叠加法，得

?1B?GI[400?0.500?600?1.250?MB?2.500]

p将其代入变形协调条件?B?0，得

M(600?1.250?400?0.500)N?m2B?2.500m?220N?m该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，

Tmax?380N?m

将其代入扭转强度条件，

?Tmax?maxW?16Tmax?[?pπd3] 由此得

d?316Tmax316?380m3π[?]?π?40?106?0.0364m?36.4mm 3.由扭转刚度条件求d

将最大扭矩值代入 TmaxGI?32TmaxGπd?[?] p4得

d?432Tmax32?380?180m4πG[?]?4π?80?109?0.25π?0.0577m?57.7mm

结论：最后确定该轴的直径d?57.7mm。

4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应

力为[?]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。

题4-23图

解：1. 求解静不定

设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为

?Mx?0, MA?MB?M?0

AC与CB段的扭矩分别为

T1?MA， T2??MB

代入式（a），得

T1?T2?M?0

37

设AC与CB段的扭转角分别为?AC与?CB，则变形协调条件为

?AC??CB?0

， T2?? T1?99(c)

根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为

M8M利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有

代入式（c），得补充方程为

?AC?T1a2Ta， ?CB?2 GIp1GIp2d1?d2316T1316M?? 2π[?]9π[?]4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，

轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a

(d)

=300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。

?d?T1?2?1?T2?0

?d2?4 最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得

42d14Md2MT1?4T??， 24d2?2d14d2?2d14(e)

2. 最轻重量设计

从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求

由此得

将式（e）代入上式，得 并从而得

TT1?[?]， 2?[?] Wp1Wp2解：这是一度静不定问题。

变形协调条件为

题4-24图

T1Wp1?d1????? T2Wp2?d2?3Δ1?Δ2 或 ?1??2

(

这里，??和??分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。

d2?2d1

设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为

物理关系为

aT1?F()?F2a， T2?F2a

2(

38

?1?T1lTl， ?2＝2 GIp1GIp2

(c)

物理关系为

?1??2

(

将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得

F2?4d2F42(d14?d2)?1?

将式(c)代入式(b)，并注意到

T1l1Tl， ?2＝22 G1Ip1G2Ip2(

?2?T2l16Fal16?750?0.300?0.500m??4GIp2πG(d14?d2)π?80?109?(0.0124?0.0154)m

76?12πD4πd44 ???0.8421， Ip2?(1??)， Ip1?763232得

?0.1004 rad?5.75??|?1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘

E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[?1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。

2d424?384T1?T2?4?T2?T2?0.1676T2

G2Ip2l1D(1??4)33?764(1?0.84214)将方程(a)与(d)联解，得

G1Ip1l2(

T2?0.856M， T1?0.144M

2．由圆轴的强度条件定M的许用值

?1max?T116?0.144M??[?1] 3Wp1πd由此得扭力偶据的许用值为

πd3[?1]π?0.0383?80?106[M]1??N?m?5.99?103N?m?5.99kN?m

16?0.14416?0.1443.由套管的强度条件定M的许用值

题4-26图

解：1. 解静不定

此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为

?2max?T216?0.856M??[?2] Wp2πD3(1??4)由此得扭力偶据的许用值为 (a)

39

T1?T2?M

πD3(1??4)[?2]π?0.0763?(1?0.84214)?40?106[M]2??N?m

16?0.85616?0.856

?2.00?103N?m?2.00kN?m

结论：扭力偶矩的许用值为

两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。

在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即

?s??c

(

[M]?[M]2?2.00kN?m

设轴段AB的长度为l，则

4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，

并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[?s]=80MPa与[?c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。

?s?Tsl GsIps

?c?(M?Tc)lTl(M?2Tc)l ?c ?

GcIpc2GcIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为

Ts(M?2Tc)? IpsIpc联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得

2．强度校核

题4-27图

解：1. 求解静不定

如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程?Mx?0可知，

Ts?Tc?IpsMIpc?2Ips

π(0.020m)4Ips??1.571?10?8m4

32Ipcπ(0.040m)4?32??0.035m?4??741??1.040?10m ????0.040m????

将相关数据代入式（d），得 (a)

40

Ts?Tc?11.6N?m

对于钢轴，

Ts?Tc

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