材料力学答案单辉祖版全部答案(5)

由此得

FAx?F

FBx?2F?FAx?F

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

FN,max?F

(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

?Fx?0, qa?FAx?FBx?0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19b

AC与CB段的轴力分别为 FN1?FAx, FN2?FAx?qx

由于杆的总长不变，故补充方程为

?l?FAxa1aEA?EA?0?FAx?qx?dx?0 得

1?qa2?EA??2FAxa?2???0

由此得

FqaAx?4 FF3qaBx?qa?Ax?4 杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为

F?3qaNmax4 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为

刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[?t]=160MPa, 许用压应力[?c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。

题3-20图

解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故

FN2为拉力，

FN1为压力，且大小相同，即

FN2?FN1

以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程

?M?0, FN2?a?FN1?a?F?2a?0

由上述二方程，解得

21

FN2?FN1?F

根据强度条件，

FN,BC?FN,AB?F

(

后取节点A为研究对象，由?Fx?0和?Fy?0依次得到

FN120?103NA1???1.818?10?4m2 6[?]110?10Pa FN,AD?FN,AG

(

c及 3AF2?N220?10N?[??106Pa?1.25?104m2 t]160?

2F?N,ADcos45?FN,AB

取

在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）

AΔlBC?ΔllAB?ΔAD1?A2?182mm2

cos45??2ΔlAD 3-21物理关系为 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试

N,BClFN,ABlFN,AD2l求各杆轴力。

ΔlBC?FEA， ΔlAB?EA， ΔlAD?EA?ΔlAG

将式(e)代入式(d)，化简后得

FN,BC?FN,AB?2FN,AD

联解方程(a)， (c)和(d)?，得

F222?1N,BC?2F（拉）， F??2N,AB2F（压）， FN,AD?FN,AG?2F（拉）(b)解：此为一度静不定问题。

题3-21图

考虑小轮A的平衡，由?Fy?0，得

(a)解：此为一度静不定桁架。

FN1sin45??F?0

设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由

由此得 ?Fy?0，得

FN1?2F

22

(

(

(

(

在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl2?0，故有

?Fx?0，FN1?1由图b得变形协调方程为

3FN2 2(

FN2?0

FN2?FN3?F ?Fy?0，2Δl1ctan30??(

FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

Δl2?Δl3 (

sin30?3-22根据胡克定律，有

图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分

N22别为[?

Δl1?FN1l1?FN1l1E， ΔlFl?FN2l1， ΔlFlFl2?3?N33?N311]=40MPa，[?2]=60MPa，[?3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E1A121A3E2A23E2A3E3A33E3A3E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为

15FN1?32FN2?8FN3

联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得

FN1?22.6kN(压)， FN2?26.1kN（拉）， FN3?146.9kN（拉） 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：

AFN122.6?10321?]?40?10m?5.65?10?4m2?565mm2[σ6 1题3-22图

解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。

A?FN2[σ?26.1?10360?106m2?4.35?10?4m2?435mm22

2]

AFN3146.9?103[σ?106m23???1.224?10?3m2?1224mm2 3]120根据题意要求，最后取

图3-22

A1?A2?2A3?2450mm2

由图a可得平衡方程

23

((

3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，

FN1?2FN2

联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得

刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移?y???????mm，试确定载荷F与各杆轴力。

4F2F , FN2?55 2. 由位移?y确定载荷F与各杆轴力

变形后，C点位移至C’(CC’?AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移?，因此，C点的总位移为?

FN1??又由于 由此得

题3-23图

??CC'?AC?l1?2?l1?AB??2?y

?l1??y

将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得

解：1. 求解静不定

在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。

由平衡方程?MA?0，得

F?5EA?y4l5(200?109Pa)(100?10?6m2)(0.075?10?3m)??1.875?104N ?34(100?10m)并从而得

FN2?F?0 2由变形图中可以看出，变形协调条件为

FN1?(a)

FN1?1.5?104N, FN2?7.5?103N

根据胡克定律，

?l1?2?l2

FN1lFl, Δl2?N2 EAEA将上述关系式代入式（b），得补充方程为

Δl1?(b)

F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

(a) 间隙?=0.6 mm； (b) 间隙?=0.3 mm。 (c)

3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷

2

24

FBx?

F?EA?22a39?62200?10N(0.0003m)(210?10Pa)(2500?10m) ???47.5 kN22(1.5m)

而C端的支反力则为

题3-24图

解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为

FCx?F?FBx?200 kN?47.5 kN?152.5 kN

(200?103N)(1.5m)Fa?F???0.57mm 9?62EA(210?10Pa)(2500?10m)3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距

A端x处的温度增量为?T??TBx2/l2，式中的?TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与?l。试求杆件横截面上的应力。

当间隙?=0.6 mm时，由于?F??，仅在杆C端存在支反力，其值则为

FCx?F?200 kN

当间隙?=0.3 mm时，由于?F??，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。

杆的平衡方程为 补充方程为 由此得

图3-24

题3-25图

解：1.求温度增高引起的杆件伸长

此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长

F?FBx?FCx?0

FaFBx?2a??? EAEAαlΔTBx2d(Δlt)?αlΔTdx?dx

l2 lαlΔTBx22全杆伸长为

25

Δlt?? 0ldx?αlΔTBl 3

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