数值分析第七章非线性方程求根习题答案(5)

四次迭代达到上面

x20的结果.

若用公式(7.16),则有

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)[f'(xk)]?f(xk)f''(xk)2

12)xk2)将f(x),f'(x)及

f''(x)?2(cosx?12)?2sinx(sinx?xk2122x)代入上述迭代公式,得

(sinxk?xk?1?xk?(cosxk?122)(cosxk?

x0?)?sinxk(sinxk?

?2,得x1?1.801749,x2?1.889630,x3?1.895474,x4?1.895494,x5?1.895494.

取

结果与公式(7.15)的相同.

33x?a?012、应用牛顿迭代法于方程,导出求立方根a的迭代公式,并讨论其收敛性.

32解 设f(x)?x?a,f'(x)?3x,f''(x)?6x,牛顿迭代公式为

xk?1?xk?xk?a3xk23?2xk?a3xk23,k?0,1,2,...

当x?0,f'(x)?0,f''(x)?0;当x?0时,f'(x)?0,f''(x)?0,,因此,对于a?0,当

x0?3a时

f(x0)f''(x0)?03xk??,根据例7-9的结论知,牛顿序列收敛到3a.当x0?(0,a)时,

x1?3a?2x0?a3x023?3a?(3a?x0)3x022(3a?2x0)?0,x1?3a

x1

3xk??从起,牛顿序列收敛到3a. x?对于a?0,当0x0?(3a,0)a?0时

f(x0)f''(x0)?0,.由牛顿法产生的序列

?xk?单增趋于3a.当

时,

x1?3a?(3a?x0)3x022(3a?2x0)?0,x1?3a 之后迭代也收敛. 当a?0时,迭代式变为

xk?1?xk?xk32 该迭代对任何

x0?R3xk?23xk

均收敛,但收敛速度是线性的.

f(x)?1?ax2?013、应用牛顿法于方程

f(x)?1?ax2,导出求a的迭代公式,并用此公式求115的值.

,f'(x)?2ax3,x?0解 ,所以牛顿迭代公式有

1?xk?1?xk?axk322axk?12xk(3?xka2),k?0,1,2,...

f''(x)?6ax4

?0易知.故取

x0?(0,a)时,迭代收敛.

x?9对于115,取0,迭代计算,得

x1?10.33043478,x2?10.70242553,x3?10.7237414,

x4?10.72380529,x5?10.72380529

故115?10.72380529.

f(x)?1?axn14、应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和并求

nn?0,分别导出求a的迭代公式,

nlima?xk?1k2

k??(na?x) nn?1解 对于f(x)?x?a,f'(x)?nxxk?1?xk?xk?anxkn?1n,因此牛顿迭代法为

axkn?1?1n[(n?1)xk?],k?0,1,2,... 根据定理7.4知

(?(na)?nn?1na2)1n?12nlim(na?xk?1)(na?xk)

k????a

f(x)?1?axn,f'(x)?naxn?1对于

xk?1?xk?,牛顿法公式为

xkanf(xk)f'(xk)?xkn[(n?1)?],k?0,1,2,...

根据定理7.4知

(?(na)??nnn?1na?)1n?12nlima?xk?12

15、证明迭代公式

k??(na?xk)a

xk?1?xk(xk?3a)3xk?a22

a,求

x是计算a的三阶方法.假定初值0充分靠近根x*?lima?xk?1(a?xk)2

k??2

xk?1??(xk)?(x)?x(x?3a)3x?a2证明 记由?(x)的定义,有

,则迭代式为

且?(a)?a. (3x?a)?(x)?x(x?3a) 对上式两端连续求导三次,得

6x?(x)?(3x?a)?'(x)?3x?3a6?(x)?12x?'(x)?(3x?a)?''(x)?6x22222 代x?18?'(x)?18x?''(x)?(3x?a)?'''(x)?62

a依次入上三式,并利用?(a)?a,得

?'(a)?0,?''(a)?0,?'''(a)?32a?0

所以由定理7.4知,迭代公式是求a的三阶方法且

lima?xk?1(a?xk)2

k???31??3!2a4a1

16、用牛顿法解方程组

22??x?y?4?22x?y?1??

取(x(0),y(0)T)?(1.6,1.2).

2222T解 记

f1(x,y)?x?y?4,f2(x,y)?x?y?1,则

?4x??1??4y??1?2xF'(x,y)???2x2y??1,[F'(x,y)]??2y? 牛顿迭代法为

?1?4x???1??4y

?f1(x(k),y(k))??x(k?1)??x(k)?(k)(k)?1?(k?1)???(k)??[F'(x,y)]?(k)(k)?f(x,y)?yy????2 ?

代入初值(x

(0),y(0)T)?(1.6,1.2),迭代计算,得

T0?0x0?x(1)??1.581250??,?(1????)1.2250000?0y0y????8?3x0?x(3)??1.581138??,?(3????)1.2247447y1y??8?? ?(2)???(?2)???(4)1.581?13834?1.224?7448981.581?38830?1.22444871?7

???(?4)???

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数值分析第七章非线性方程求根习题答案(5)在线全文阅读。