数值分析第七章非线性方程求根习题答案(2)

9 1.3243 1.3263 1.3253 + 此时x9=1.3253满足|x9-x*|?似值.1210?0.977?10-3?10,可以作为x*的近-3 若要求|xk-x*|?10,只需|xk-x*|??612k+1?10即可,解得k+1?19.932,-6即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)e=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x0?[a,b],迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|xk?xk?1|?10.?3x

x解 (1)令f(x)=(x-2)e-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=e-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1)e,limf(x)=+?,limf(x)=-1,x???x???xxf'(1)=-e-1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-?,+?)内有且仅有一根x*,即x*?[2,3].(2)将(x-2)e=1等价变形为x=2+ex?x1

,x?[2,3].则?(x)=2+e.由于当?x?2xx?[2,3]时2??(x)?3,|?'(x)|=|-e|?e<1故不动点迭代法xk+1=2+e?xk,k=0,1,2,...,对?x0?[2,3]均收敛.进行迭代计算,结果如表7-2所示.(3)取x0=2.5,利用xk+1=2+e?xk

表7-2 k 0 1 2 3 4 xk |xk?xk?1| 2.5 2.082084999 2.124670004 2.119472387 2.120094976 0.417915001 0.042585005 0.0005197617 0.000622589

此时x4已满足误差要求,即x*?x4?2.120094976.例7?3 考虑求解方程2cosx?3x?12?0的迭代公式 xk+1=4+23cosxk,k=0,1,2,... (1)试证:对任意初始近似x0?R,该方法收敛;(2)取x0=4,求根的近似值xk+1,要求|xk+1-xk|?10;(3)所给方法的收敛阶是多少?解 (1)由迭代公式知,迭代函数?(x)=4+x?(??,??).由于?(x)的值域介于(4-|?'(x)|=|-23sinx|?23?12323cosx,23)之间,且-3)与(4+故根据定理7.1,7.2知,?(x)在(??,??)内存在惟一的不动点x*,且对?x0?R,迭代公式得到的序列?xk?收敛于x*.(2) 取x0=4,迭代计算结果如表7-3所示.

|xk?xk?1| 表7-3 k 0 1 2 3 4 5 此时

x5xk 4 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903 0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481 已满足误差要求，即

x*?x5?3.347529903

（3）由于?'(x*)?0.136323129?0，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有

limek?1ek??'(x*)k??。

2例7-4 对于迭代函数?(x)?x?C(x?2)，试讨论： （1）当C为何值时，

xk?1??(xk)(k?0,1,2,...)产生的序列

?xk?收敛于2；

（2）C为何值时收敛最快？

C??12，

?122，计算?(x)的不动点2，要求

（3）分别取

|xk?1?xk|?102?5

解： （1）?(x)?x?C(x?2)，?'(x)?1?2Cx，根据定理7.3，当

?12?C?0|?'(2)|?|1?22C|?1，亦即

时迭代收敛。

C??122时迭代至少是二阶收敛的，

（2）由定理7.4知，当?'(2)?1?22C?0，即收敛最快。

C?12,?1（3）分别取

22，并取x0?1.2，迭代计算结果如表7-4所示。

表7-4 k xk(C??12 )k xk(C??122 )0 1 6 12 13 此时都达到

1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 0 1 2 3 4 1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562 |xk?1?xk|?10?5.事实上2?1.414213562...,

例7-5 给定初值

x0?0,2a以及迭代公式

xk?1?xk(2?axk),k?0,1,2,...,常数a?0

证明: (1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列

|1?ax0|?1?xk?收敛的充要条件是

．

?()?a111解: (1) 显然,迭代函数为?(x)?x(2?ax),且

1a,即a是?(x)的不动点.又

?'()?0?''()??2a?0?'(x)?2(1?ax),?''(x)??2a,所以aa,，由定理7.4知，

limek?1ek21迭代是二阶收敛的，且

k???12?''()??aa1．

（２）因

ek?xk?1a?1a1ark(axk?1)，令

rk?axk?1，则

xk?1?xk(1?rk),ek?

然而

rk?axk?1?axk?1(1?rk?1)?1 故

?(rk?1?1)(1?rk?1)?1??rk?12

rk??r2k?1??rk?2?...??r4k20

ek?1ark??1ar02k

limrk?0k??由此可知

limek?0k??等价于，而k??limrk?0又等价于

|r0|?1，即

|1?ax0|?1．

注 （１）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明．另外，本题迭代式实际上

f(x)?a?1x使用牛顿迭代法而得．

是对

3?(x)?x?x,x?0为?(x)的一个不动点,验证迭代xk?1??(xk)对任意x0?0不例7-6 对

收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算?(x)的不动点x?0时的收敛阶.

解 由于?'(x)?1?3x,当x?0时|?'(x)|?1,且有

|xk?1?0|?|?(xk)?0|?|?'(?)(xk?0)|?xx?0,L?1,介于k与0之间,若0,迭代不收敛.

2若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 ?'(0)?23,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.

2xk?1??(xk),?(x)?x?xx?3x?3

42?'(0)??03由于,故用斯蒂芬森迭代计算不动点x?0时,收敛阶p?1.(请读者注意,这一

结论与定理7.5的结论是否矛盾?) 例7-7 当R取适当值时,曲线

y?x2与

y?(x?8)?R222相切,试用迭法求切点横坐标的近

似值,要求不少于四位有效数字,且不必求R. 解

y?x2的导数y'?2x,由y?(x?8)?R确定的函数y的导数满足

222

2yy'?2(x?8)?0,由两曲线相切的条件,可得

2?x?2x?2(x?8)?0

2即 2x?x?8?0

令f(x)?2x?x?8,则f(1)?0,f(2)?0,f(x)?0在(1,2)内有实根.又

f'(x)?6x?1?0,故f(x)?0仅有一个根,构造迭代公式 xk?1??(xk),?(x)?(8?x21332)3,x?(1,2),

则当x?[1,2]时,1??(x)?2.

18?x?311|?'(x)|?|?()|?L?()3?16263

22故迭代收敛.取

x0?1.5,计算结果如表7-5所示.

k 表7-5 k xk |xk?xk?1| xk |xk?xk?1| 0 1 |x3?x*|?1.5 1.481248 0.018752 2 3 1.482671 1.482563 0.001423 0.000108?12?10?3L1?L由于

|x3?x2|?12?10?3,故可取

x*?x3?1.483,即可保证两曲线切点的横

坐标的近似值具有四位有效数字.

例7-8 曲线y?x?0.51x?1与y?2.4x?1.89在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值

xk?132,使

|xk?1?xk|?102?5.

解 两曲线的导数分别为

2y'?3x?0.51和y'?4.8x,两曲线相切,导数相等,故有

3x?4.8x?0.51?0 令

f(x)?3x?4.8x?0.512,则f(1)?0,f(2)?0,故区间[1,2]是f(x)?0的有根区间.又

当x?[1,2]时,f'(x)?6x?4.8?0,因此f(x)?0在[1,2]上有惟一实根x*.对f(x)应用牛顿迭代法,得计算公式

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